数分二十二章习题.pptVIP

返回 后页 前页 二、内容复习 三、例题 习题课 一、基本要求 第二十二章 曲面积分 ２理解Gauss公式和Stokes公式的证明思路，会分 ３了解如何计算由隐式方程或参数方程表示的曲 曲面积分，了解两类曲面积分的关系. １正确理解第一、二型曲面积分的概念、性质， 一、基本要求 掌握用显式方程表示的曲面的第一、二型曲面积分 计算公式. 别运用它们计算第二型曲面积分和第二型曲线积分. 上任取一点 若存在极限 定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成 n 个小曲面块 记小曲面块 的面积, 分割 T 的细度 在 定义 设 S 是空间中可求面积的曲面, 为 1、第一型曲面积分的定义 二、内容复习 曲面块的质量由第一型曲面积分表示为: 特别地, 当 时,曲面积分 就是曲面 块 的面积. 且与分割 的取法 无关, 则称此极限为 上的第一型曲面积分, 记作 的投影区域的面积, 它们的符号由 的方向来确定: 分别表示 在三个坐标面上 定义 设 P, Q, R 为定义在双侧曲面 S 上的函数. 对 S 作分割 T , 它把 S 分为 分割 T 的细度为 2、第二型曲面积分定义 若 在曲面 所指定一侧上的第二型曲面积分,记作 的选取无关, 则称此极限 I 为向量函数 中的三个极限都存在, 且与分割 T 和点 的 据此定义, 某流体以速度 从曲面 的 负侧流向正侧的总流量即为 又如, 若空间中的磁场强度为 则按指定方向穿过曲面 的磁通量(磁力线总数)为 3、第一型、第二型曲面积分的性质 若以-S表示曲面S的另一侧,则有 第一型曲面积分的性质完全类以与第一型曲线积分． 第二型曲面积分的性质完全类以与第二型曲线积分． ４、第一型曲面积分的计算公式 第一型曲面积分需要化为二重积分来计算. 定理 22.1 设有光滑曲面 为 S 上的连续函数, 则 注: 为 S 上的连续函数, 则 为 S 上的连续函数, 则 对于由参量形式表示的光滑曲面 在 上第一型曲面积分的计算公式则为 其中 ５、 第二型曲面积分的计算公式 定理22.2 　设　　　　是定义在光滑曲面 上的连续函数， 以S的上侧为正侧(这时S的法线 方向与z轴正向成锐角)， 则有 基本方法： 化为二重积分 前侧为正,后侧为负 类似地,当 在光滑曲面 上连续时,有 右侧为正,左侧为负 当 在光滑曲面 上连续时, 有 步骤： 1. 写出曲面方程：　　　　 3. 把曲面方程：　　　　代入　　　　中得 4. 求二重积分. 计算 “一投,二代,三定号” 2. 把 S 投影在 面上得投影区域为 ； 定理22.3 设 S 为光滑曲面, 正侧法向量为 ６、两类曲面积分的联系 在 上连续，则 函数, 以 的上侧为正侧, 则 在光滑曲面 上的连续 定理22.4 设 是定义 ７、高斯公式 定理22.3 设空间区域 由分片光滑的双侧封闭曲 面 S 围成. 若函数 P, Q, R 在 上连续, 且有一阶连 续偏导数, 则 其中 S 取外侧.上 式称为高斯公式. 定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑的连 续曲线.若函数 P, Q, R 在 S ( 连同 L ) 上连续,且有 一阶连续偏导数,则有斯托克斯公式如下: ８、斯托克斯公式 其中 S 的侧与 L 的方向按右手法则确定. ９、空间曲线积分与路径无关的条件 不经过 V 以外的点而连续收缩于属于 V 的一点.例 区域 V 称为单连通的,如果 V 内任一封闭曲线皆可 如球面是单连通曲面,非单连通区域称为复连通区 域. 如车胎状的环形区域不是非单连通区域,复连通 区域. 定理22.5 设 为空间单连通区域. 若函数 P, 个条件是等价的: Q, R 在 上连续,且有一阶连续偏导数,则以下四 与路线无关; (i) 对于 内任一按段光滑的封闭曲线 L 有 (ii) 对于 内任一按段光滑的封闭曲线 L,曲线积分 个条件是等价的: 在 内处处成立. (iii) 内某一函数 u 的全微分, 即 三、例题 例1 计算积分 其中 是曲面 介与两平面 之间的部分. 解 曲面方程: 于是 (