第四章 点群 2014.pptVIP

第四章 点群（Point group） 一、定义 若一个物质体系的某些对称操作构成群，且在该群所有群元操作下，体系中至少有一个点的空间坐标保持不变，则该群为该体系的一个点群。 （1）点群的所有群元都是点操作； （旋转，反射，或它们的组合） * （2）两次反射的平面必须相交。旋转轴与反射面必须有公共点。两个转轴必须相交（共点）； （3）点群是O(3)群的有限子群。 * 二、点群种类 第一类点群：所有群元在实空间中的变换矩阵R的行列式 det R = 1。也称正当点群。 第二类点群：包含镜面反射操作，det R =±1。也称非正当点群。 ? 两种点群的数目都很有限。 某转轴基转角 = 2??/m ， * 点群的一个循环子群 ? 轴是 cm 的转轴， m重轴； . P1 P1 P2 P3 P3 P2 Rj O 三、第一类点群的种类 ? 点P1和P1 称为极点，m重极点， 对应 m 个旋转； ? 除了单位元，每个群元有两个极点， 分别重合。 ? 单位元无极点，因其极点任意； 可相互转化的转轴称为等价轴。即由某群元使彼此相合的转轴。（相合：一个轴上所有点可经群中某个转动操作转到另一个转轴上） 极点星：由群的操作联系起来的极点的集合。 极点星 : (m, ν) ，对应 ν(m?1) 个群元； （ m : 重数，ν : 极点星中极点数） 极点星 : (m, ν) ，对应 ν(m?1) 个群元。 （与前者的极点可能相同或不同） * 若点群G 中有一旋转 ，使 ，则 Pj 、Pj点也对应 m个旋转（G中定有 ，其转轴为 ，m重轴）。不同 Rj 形成不同转轴和极点。 一个点群有多少不同极点星？ 陪集分解： ， 则 . （2） 设有 λ 个不同极点星，共有极点数： （1） * 对左陪集 中任一元素 ，有 ， 一个陪集中各元素效果相同，只生成一个等价轴。 所以， 有意义的点群 g ≥ 2 , λ = 1 或 λ ≥ 4 时，(3) 式不成立，所以 λ = 2 或 3 . * （a）λ = 2： ， g重转轴： 起点 末点 单轴转动群 Cn （g = n） ∵ m ≥ 2 , 有 （b） λ = 3： 设 ，则 m1 = 2 （若为 3 ,(5)式左边 ≤ 1）， 要求 m2 = 2, 3 . * （b.1） m1 = 2，m2 = 2 ： ， g为偶数，设 g = 2n ，则 m3 = n ，由 ，有 ? 两种各n/2个2重轴，起末点同属一个极点星 ? 一个n重轴，起末点属一个极点星 ◇ 二重轴必垂直于n重轴。 双面群 Dn （g = 2n） （双面体） （b.2）m1 = 2，m2 = 3： ， （i） ； T 群（正四面体） * （ii） O 群（正方体） （iii） I 群（正十二面体） 第一