微积分第13讲 幂级数.ppt

无穷级数 幂 级 数 一、函数项级数的一般概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 四、常用已知和函数的幂级数 一、函数项级数的一般概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 四、常用已知和函数的幂级数 五、小结 六、作业 2.幂级数的收敛性 收敛半径R 3.幂级数的运算 分析运算性质 1.函数项级数的概念 * 西南财经大学天府学院 * 西南财经大学天府学院 1.定义 2.收敛点与收敛域 函数项级数的部分和 余项 (x在收敛域上) 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题. 3.和函数 (定义域是?) 解 由达朗贝尔判别法 原级数绝对收敛. 原级数发散. 收敛; 发散; 1.定义 2.收敛性 证明 由(1)结论 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域 推论 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径? 证明 由比值审敛法, 定理证毕. 例2 求下列幂级数的收敛区间: 解 该级数收敛 该级数发散 发散 收敛 故收敛区间为(0,1]. 解 缺少偶次幂的项 级数收敛, 级数发散, 级数发散, 级数发散, 原级数的收敛区间为 1.代数运算性质 (1) 加减法 (其中 (2) 乘法 (其中 柯西乘积 (3) 除法 (相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多) 2.和函数的分析运算性质 (收敛半径不变) (收敛半径不变) 解 两边积分得 解 解 收敛区间(-1,1), * *