第五章 抽樣方法與抽樣分佈.DOCVIP

授 课 目 录 导 论 统计资料的整理与描述 机率导论 常用的机率分布与统计分布 描样方法与描样分布 统计估计 统计检定 变异数分析 相关分析与回归模式 无母数统计检定 类别数据分析---列联表与卡方检定 从被研究的母体中，随机抽取具有代表性的样本来进行分析，即是抽样调查。从人力、财力或时间的观点来看，抽样调查是比普查有效率。 5.1 抽样方法 抽样调查的方法很多，若考虑人力、财力、时间或母体性质等因素，可分为：(1) 简单随机抽样、(2) 分层抽样、(3) 群落抽样、(4) 系统抽样。 简单随机抽样(Simple Random Sampling) 系指母体中的任一元素被选中的机率均相同的抽样方法。常以抽签方式或随机数表进行。由简单随机抽样法所得的样本称之简单随机样本，简称随机样本。此法可分为抽出放回(每次为1/N)或抽出不放回[1/N，1/(N-1)，…，1/(N-n-1)]的抽样方式。 分层抽样(Stratified Sampling) 1 a%×N Random Sampling a%×n 2 b%×N b%×n : : : k [1-(a+b+…k)%]×N [1-(a+b+…k)%]×n 母体(N) 样本(n) 群落抽样(Clustered Sampling) 系统抽样(Systematic Sampling) 系将母体的元素排列序后，每隔一定时间选取一样本，直到选满为止。间隔可以时间或空间为单位。 5.2 抽样分布 5.2.1 样本比例的抽样分布 母体的比例p未知，须以抽样方法来估计。通常从母体抽取n个样本，观察其中具有某种属性的个数为x，并以= x/n表示样本比例。为p的估计值，即估计母体中具有某种属性的比例p。 根据二项分布，执行n次试验中，若每次成功发生的机率为p，则随机变量X的期望值与变异数分别为E[x] = np，Var[x] = np(1-p)。因此可得样本比例的期望值与变异数： E[] =E[x/n] =E[x]/n= (np)/n = p (5.1) Var[] =V[x/n] =V[x]/ n2 = np(1-p)/ n2= p(1-p)/n (5.2) 依中央极限定理，当n很大时，之抽样分布近似常态分布，即 ~N(p, p(1-p)/n) (5.3) 当样本数n愈大，的变异数愈趋近于零，表示样本比例会因样本愈大而愈接近母体比例p。将转为标准常态分布，即 Z = (-p)/[p(1-p)/n]1/2 ~ N(0, 1) 范例、致远管理学院学生有10%的比例有体重过重的现象，兹随机抽取400位该校学生，试问体重过重的比例之期望值与变异数? 又体重过重比例大于12%之机率? SOL： (a) E[] = p = 0.1 Var[] = p(1-p)/n = 0.1*0.9/400 = 0.000225 (b) P( 0.12) = P((-0.1)/(0.000225)1/2 ( (0.12-0.1) /(0.000225)1/2) = P(Z (1.33) = 0.0918 公式、查表、Excel 范例、致远管理学院学生之统计学检定，正常下PASS之机率80%，兹200位该校学生进行该课程检定，试问PASS的比例 (a) 介于0.75~0.85之机率? (b) 大于0.9之机率? SOL： (a) E[] = p = 0.8 Var[] = p(1-p)/n = 0.8*0.2/200 = 0.0008 P(0.75 0.85) = P(-1.77 ( Z(1.77)= 0.9232 (b) P((0.9) ( P(Z (3.5) ( 0 公式、查表、Excel 5.2.2 样本平均值的抽样分布 利用样本平均值来推论母体的的平均值(，藉此了解母体集中趋势。依中央极限定理，从任何以期望值(，变异数(2的母体中，随机抽出n个样本{x1, x2,…,xn}(当n很大)，则样本平均值将趋近母体的期望值为(、变异数为(2/n，即为标准常态分布 (-()/[(2/n]1/2= Zn (N(0, 1) (5.4) 即样本平均值~N((, (2/n)。 5.2.3 两样本平均值的抽样分布 通常是应用在『不同母体间某性质差异之比较』，如工管系两班学生统计学成绩的差异。由两样本平均值的抽样分布，去衡量推论母体平均值差(1 - (2的状况。 两母体分别为((1, (21)、((2, (22)，且两者的分布并不一定是常态。倘各自从中取出两组样本，因此两组样本互为独立，且(N((1 , (21/n1)，(N((2 , (22/n2)，故 -(N((1 - (2, ((21/n1)+( (22/n2)) (5.5) 范例、某工厂