第八章 變異數分析.DOCVIP

授 課 目 錄 導 論 統計資料的整理與描述 機率導論 常用的機率分配與統計分佈 描樣方法與描樣分佈 統計估計 統計檢定 變異數分析 相關分析與迴歸模式 無母數統計檢定 類別資料分析---列聯表與卡方檢定 一般統計檢定係討論兩個常態母體下檢定『平均值』的方法。倘對k個常態母體，欲檢定其『平均值』是否一致時，採逐一比對程序檢定則效率差且會增型 I 誤差的機率。 變異數分析ANOVA(Analysis of Variance)的主要觀念即利用各組資料平均值的差異與各組資料整體之間差異做比較，來檢定平均值是否相同的方法。ANOVA可對k個母體檢定其『平均值』是否一致。『ANOVA即將一組資料的總變異，依其變異來源分割成數區』，然後針對其『各區內變異與各區間變異』加以探討分析。 ANOVA依據因子的數目---One-way ANOVA，Two-way ANOVA。 8.1 實驗設計與ANOVA 十九世紀初，英國為了改良農作物的品質與產量，由Ronald A. Fisher爵士首先提出應用ANOVA於實驗設計(DOE, Design of Experiment)中。實驗的目的是將不同的處理(Treatment)，指定給不同的實驗單位(Unit)，以便觀察其結果好壞。 實驗的目的是將不同的處理，指予不同的實驗單位，以便觀察其結果好壞。其包括下列幾點： 1、決定何者變數x對反應y最具影響力。 2、決定這些最具影響力變數x的值，使反應y幾乎永遠都是在所想要的目標值(Nominal Value) 的附近。 3、決定這些最具影響力變數x的值使反應y變異較小。 4、決定這些最具影響力變數x的值使得不可控變數z的影響極小。 以一般實驗設計方法分為二大類：完全隨機設計(Completely Randomized Design)與集區隨機設計(Randomized Block Design)，以增處理效果的可信度。 完全隨機設計係在考慮一個因子的情況下，有n1 , n2 , …,nk個實驗單位分別指定到k個處理上。這些實驗單位的實驗順序是隨機決定的。完全隨機設計因為只考慮一個因子，故亦稱一因變異數分析(One-way ANOVA)。可中和其他因子對實驗的影響。 集區隨機設計係事先將實驗對象劃分成若干同質性的集區，即在每個集區內涵具同質性環境下，進行不同實驗處理。 ◎實驗設計亦可以一函數表示之： y = f(x1 , x2 , …,xk) (8.1) 式中：輸入x---可控因子(變數)(Control Factors (Variables)，輸出y---依變量(Dependent Variable)， 8.2 一因子變異數分析(The One-way ANOVA) 倘工管系欲採三種工廠實習課程：(1)電視教學 (2)講師講習 (3)實地觀摩，研究其對學生學習效果是否有不同的影響。此3種實習課程稱之『處理(Treatment)』。於是將實習生隨機分成3組，分別施以不同實習課程。茲隨機抽樣21位實習生進行分組，第1組有7位，第2組有8位，第3組有6位。此n1 = 7 , n2 = 8 , n3 = 6稱之『實驗單位(Unit)』。本研究僅以『工廠實習課程』此一因子(Factor)來對母體作分類探討，故此稱之一因子變異數分析。典型資料如下： 處理(水準) Treatment(Level) 觀測值 (Observations) 總和 (Totals) 平均值 (Average) 1 y11 y12 …y1n y1( 2 y21 y22 …y2n y2( … …. … a ya1 ya2 …y1n ya( y(( N = an yij : 第i個處理、第j個觀測值 一因子變異數分析是根據變異來源：組內、組間、與總變異等統計量，建立變異數分析表(ANOVA Table)，以進行檢定工作。 變異來源 平方和SS 自由度df 均方和MS F 因子(組間) SST a-1 MST= SST/(a-1) MST/MSE 隨機(組內) SSE N-a MSE= SSE/(N-a) 總和 SS N-1 MS= SS/(N-1) 其中： ◎總變異(Total Sum of Squared Deviation) SS = = SST+SSE (8.2) ◎組間變異(Treatment Sum of Squares) (Between Treatment) SST = (8.3) ◎組內變異(Error Sum of Squares) (Within Treatment) SSE = (8.4) 簡化之： SS = ； SST = SSE = SS –SST