导集运算及其条件的独 立性.docVIP

导集运算及其条件的独立性 吴洪博 （陕西师范大学数学与信息科学学院，西安，陕西，710062） 摘要：本文对点集拓扑学中由导集运算决定拓扑的方法进行了讨论，给出了导集运算的定义，导集运算决定拓扑定理，并讨论了导集运算中条件的相互独立性，进一步完善了点集拓扑学中有关导集概念的内容。 关键词：点集拓扑学，拓扑空间,　导集，导集运算. 文献[1-3]是本科生和研究生在学习点集拓扑学时经常选用的教材或参考书，它们对由邻域、闭包、内部等决定拓扑的方法进行了讨论， 但对由导集决定拓扑的方法并未进行探讨. 本文的目的是对导集决定拓扑的方法进行较为细致的讨论，得到的主要结果是,设是一个集合,是一个集值映射, 若满足：,(1), (2), (3) ,（4），则存在的唯一拓扑，使得在拓扑空间中， 本文未加定义的概念、记号见[1-4]. 一、导集运算及其相关定理 定义1[1] 设是一个集合，若满足 ① , ② 若，则, ③ 若，则. 则称是的一个拓扑，是一个拓扑空间，中元素称为开集. 引理1[1] 设是一个集合，，若满足 ① ， ② 若，则， ③ 若，则 则存在的唯一拓扑，使得在拓扑空间中集族是全体闭集构成的集族. 注1 引理1中，，并称引理1中由确定的拓扑是由闭集族决定的拓扑. 定义2[2] 设是一个拓扑空间，若，则称是集合的一个聚点. 的全体聚点之集称为的导集，记作. 注2 易验证在拓扑空间中，当且仅当. 引理2[1] 设是一个拓扑空间，，则导集满足以下性质 作者简介：吴洪博（1959年6月-），男，陕西咸阳人，博士，教授，研究方向：格上拓扑学与非经典逻辑。 基金项目：国家自然科学基金资助项目，陕西师范大学重点科研基金资助项目（995130）。 （1）， （2）若，则， （3）， （4）. 注3 以上性质见参考文献[1-4]，事实上，性质（3）蕴涵性质（2），这是因为保并运算必是保序运算，而在包含关系下构成一偏序集. 性质3蕴涵性质2的证明如下： 设则因此由性质(3)得 所以，因此. 导集运算 设是一个集合，是一个集值映射，若满足条件：， （1）， （2）， （3）， （4）. 则称为集合的一个导集运算. 定理 （导集运算定理） 设是一个集合，是集合的一个导集运算，则存在的唯一拓扑使得在拓扑空间中即在中的导集等于. 证明：令 第一步，我们证明存在的唯一拓扑使得在拓扑空间中是闭集族.为此我们只须证明满足引理1中的三个条件. （1）由于，因此，又显然因此； （2）设则，因此，再由条件（2）得 ，因此，所以； （3）设，若，则，若，，必有 因此 又，必有. 再由注3.及条件（2）知是保序映射，因此，因此 综上所述得，因此 第二步，证明在拓扑空间中， 一方面，由于是 中是闭集，由第一步的结果知，因此，由的定义知(，再由注2及知(（），故(，因此。 另一方面，由条件2及条件3得因此 再由第一步结果知是闭集，因此，又显然因此。 综合以上两个方面可得：在拓扑空间中， 第三步，我们证明在拓扑空间中， 由定义2知：当且仅当，而有第二步结论知：因此当且仅当，又因此 当且仅当，由条件（4）知当且仅当. 综上述知：当且仅当. 因此 例1 设是非空集合，定义，，易验证是集合的导集运算，由导出的的闭集族是 因此由导出的的拓扑是 因此，是离散拓扑空间，在这个拓扑空间中，. 例2 设定义 可验证是集合的导集运算，由导出的的闭集族是 ， 从而由导出的的拓扑是.易验证在拓扑空间中，. 导集运算定理的证明过程显示：导集运算中的条件1和条件2确保了决定了以为闭集族的拓扑空间的唯一性，条件3确保了在拓扑空间中， ，而条件4确保了在拓扑空间中， 下面我们通过实例进一步阐明条件3和条件4在导集运算中的作用。 例3 设是集合，，取，定义，对若，，若， 由于，因此满足导集运算中的条件1；满足导集运算中的条件2：的证明如下： 若则，从而 若，当时，必有或或, 从而. 当时，则且. 从而， ∴ 因此根据导集运算定理证明过程中的第一步可知决定的拓扑空间中的闭集族是，从而决定的拓扑空间是平庸拓扑空间. 取（其中），则，在中的闭包，而由定义知在映射下的象是，因此闭包. 产生这个结果的直接原因是不满足导集运算中的条件3：，。例如取，由于，因此，因此，从而。同样取在中的导集是，而在映射下的象为，从而.产生这个结果的直接原因是不满足导集运算中的条件4：，，例如取，则，而，因此。 例4 设是一非空集合，定义，则容易验证满足导集运算中的条件（1）：，条件2：，条件3: ，由此根据导集运算定理的证明过程中的第一步和第二步知存在的唯一拓扑使得在拓扑空间中，虽然这个结果和拓扑空间中闭包和导集的关系在形式上已经一致，