离散数学教程-王元元-第3章 集合代数.pptVIP

离散数学 第3章 集合代数 第3章 集合代数 3.1.1 集合的并、交、差、补运算 定义3.1 设A，B为任意集合。 并运算（∪） ：A∪B称为A与B的并集，定义为 A∪B = ｛x∣x∈A或x∈B｝。 交运算（∩） ：A∩B称为A与B的交集，定义为 A∩B =｛x∣x∈A且x∈ B｝。 差运算（– ）： A-B称为A与B的差集，定义为 A–B = ｛x∣x∈A且x ? B｝。 补运算（ ） ： 称为A的补集，定义为 =U–A =｛x ? x?A｝ 3.1.1 集合的并、交、差、补运算 文氏图 3.1.1 集合的并、交、差、补运算 例3.1 设U＝{0，1，2，3，…，9}， A = {2，4} B = {4，5，6，7}， C = {0，8，9} D＝{l，2，3}： A?B＝{2，4，5，6，7}， A?B?C?D＝U A?B ＝{4}， A?C= ? A-B = {2}，B-A ={5，6，7}， A - C ={2，4} ={0，l，3，5，6，7，8，9}， ＝{0，l，2，3，8，9} 3.1.1 集合的并、交、差、补运算 定理3.1 设A，B，C为任意集合，那么 （l）A?A=A，A?A=A （等幂律） （2）A?B=B?A，A?B=B?A （交换律） （3）(A?B) ?C=A? (B?C) (A?B)?C=A? (B?C) （结合律） （4） A?(B?C)=(A?B)?(A?C) A?(B?C)＝(A?B)?(A?C) （分配律） （5）A?( A?B)=A，A?(A?B) =A （吸收律） （6） A??＝A，A?U = U A??＝?，A?U = A 3.1.1 集合的并、交、差、补运算 证（6） A??＝A，A?U = U A??＝?，A?U = A 对任意x， x?A?? ? x?A?x?? ? x?A（x??为恒假命题） 故 A??＝A 。而 x?A?? ? x?A?x?? ? x??（x??为恒假命题） 故 A?? = ? 。 ?和U分别是?运算的幺元和零元； ?和U又分别是?运算的零元和幺元。 3.1.1 集合的并、交、差、补运算 定理3.2 对任意集合 A，B，C， (1) A – A＝?， A – ?＝A， A – U = ? (2) A – (B∪C)＝(A – B) ∩ (A – C) A – (B∩C)＝(A – B) ∪ (A – C) 3.1.1 集合的并、交、差、补运算 定理3.3 对任意集合A，B (1) (2) (3) (4) 3.1.1 集合的并、交、差、补运算 定理3.4 对任意集合A , B , C , D， (1) A ? A ∪ B． (2) A ∩ B ? A (3) A – B ? A (4) 若A ? B,则 (5) A?B, A–B = ?, A∪B = B , A∩B = A 四命题等价。 3.1.1 集合的并、交、差、补运算 证 设4个命题为P, Q, R, S ，