离散数学教程-王元元-第7章 函数.pptVIP

离散数学 第7章 函数 第7章 函数 7.1.1 函数基本概念 定义7.1 设X，Y为集合，称f为X到Y的函数，记为f：X→Y，如果 f为X到Y的关系（即f ?X?Y），且对每一x?X，都有唯一的 y?Y，使x,y?f 。 当X=X1?…?Xn时，称f为n元函数。 当X=Y时，也称f为X上的函数。 函数是关系的特例。关系f ?X?Y作为函数它还应有以下性质： （1）其前域X正是其定义域。 （2）具有所谓单值性，即?x(x,y?f∧x,y’?f→y＝y’)。 （3）可以用y = f(x) 表示x,y具有函数关系f。 函数也称映射。y = f(x)时，也称x为自变元，y为函数在x处的值； 也称x为y的源点，y为x的像点。 7.1.1 函数基本概念 例7.1 （1）任意集合A上的相等关系EA为一函数，常称为恒等函数，对 任意x?A , EA(x)= x。 （2）实数集合上的线性关系为一函数，f：R→R，y＝f(x)＝kx+b 。 实数集合上的椭圆关系L={}不构成函数，不满足单值性。 （3）自然数集合上的整除关系不是函数，因为0不整除x。 在正整数集合上，整除关系仍不是函数，例2?4，2?8，但4 ? 8。 （4）当X＝?时，X到Y的空关系为一函数（？），称为空函数。 当X ? ?时，X到Y的空关系不是一个函数（？）。 （5）Add:NN→N, y=Add (x1,x2)=x1+x2为自然数集上的二元加函数。 7.1.1 函数基本概念 规定函数的四种方法： （1）列表法：将其序偶排成一个表，自变量与函数值一一对应。 一般适用于定义域为有限集合的情况。 （2） 图像法：用笛卡儿平面上点的集合（坐标图）表示函数， 或用有向图表示函数。 （3）解析法：用等式y = f(x)表示函数。 （4）递归地定义函数。 7.1.1 函数基本概念 例7.2 设A＝{?3，?2，?1，0，l，2，3}，f :A→A，y＝? x ? 7.1.1 函数基本概念 例7.3 设R是实数集合，I是整数集合 底函数 f：R→I f(x) = ?x? = 小于或等于x 的最大整数 顶函数 g：R→I g(x) = ?x? = 大于或等于x 的最小整数 7.1.1 函数基本概念 定理7.1 设X，Y为任意集合，且 ? X ? = m，? Y ? = n，那么 {f ? f：X→Y}的基数为nm 。即共有nm个X到Y的函数。 证 设X={x1,…, xm}, Y= {y1,…, yn}，那么每一个f: X→Y为: y i1，yi2，…，yim为取自y1，y2，…，yn的允许元素重复的排列，共nm个。 因此，上述形式的表恰有nm张，恰对应全部nm个X到Y的函数。 所以，A到B的全体函数的集合常用记号BA表示之，即 BA ={f ? f: A→B} 特别：AA表示A上函数的全体（或用A→B替代BA ）。 7.1.1 函数基本概念 定义7.3 设f: X→Y，A ? X，称f ’(A)为A的映像定义为 f ’(A) = {y ? ?x(x?A∧y = f(x))} 称f ’(A)为A的像，也可以简略为f (A) 定理7.2 设f: X→Y，对任意A ? X，B ? X， （1） f ’(?) = ? , f ’(X) =Ran(f) , f ’({x}) = {f (x)} (x?A) （2）f ’(A∪B) = f ’(A)∪f ’(B) （3）f ’(A∩B) ? f ’(A)∩f ’(B) （4）f ’(A) ? f ’(B) ? f ’(A – B) 7.1.1 函数基本概念 证（2）f ’(A∪B) = f ’(A)∪f ’(B) 对任一y?Y y? f ’(A∪B) ? ?x(x?A∪B∧y=f(x))