离散数学教程-王元元-第11章代数结构通论.pptVIP

离散数学 第11章 代数结构通论 第11章 代数结构通论 11.1.1 代数结构的组成 定义11.1 如果 ? 为Sn到S的一个函数，那么称 ? 为集合S上的n元运 算。以下常用 ? 表示二元运算, ?(x,y)常记为x?y；?常用以表示 一元运算。对二元运算?，?’： 称 ? 运算满足结合律，若 ?x?y?z(x,y,z?S→x? (y?z)=(x?y)?z) 或?x?y?z(x?(y?z)=(x?y) ?z) 称 ? 运算满足交换律，若 ?x?y(x,y?S→x?y= y?x) 或 ?x?y(x?y= y?x) 称 ? 运算对 ?’ 运算满足分配律，若 ?x?y?z(x,y,z?S→x?(y?’z)=(x?y)?’(x?z)∧(y?’z)?x=(y?x)?’(z?x)) 或?x?y?z(x?(y?’z)=(x?y)?’(x?z)∧(y?’z)?x=(y?x)?’(z?x)) 11.1.1 代数结构的组成 定义11.2 代数结构是由以下两个部分组成的数学结构： （1）非空集合S，称S为代数结构的载体。 （2）载体S上的若干运算。 代数结构常用一个多元序组S，?，?， … 来表示，其中 S是载体，?，?，…为各种运算。当S上的运算具有幺元、零元 时，也可将这些地位特殊的元素列入多元序组的末尾。 11.1.1 代数结构的组成 例11.2 （1）以自然数集N为载体，数加运算“＋”为二元运算组成一 代数结构，记为N,＋，也可加上＋运算的幺元0，记为N,＋,0。 （2）以全体2?2实数矩阵组成的集合M为载体，矩阵乘“?”为二元运 算，组成一代数结构，记为M, ? 。对角线为1、其余为0的2?2单 位矩阵E是矩阵乘“?”运算的幺元，代数结构也可以记为M, ?, E。 （3）以集合A的幂集ρ(A)为载体，以集合并、交、补为其二元运算 和一元运算组成一代数结构，记为ρ(A),∪,∩,ˉ 。并运算的幺元 为空集?，零元是A；交运算的幺元为A，零元为空集?。也可将这 一代数结构记为ρ(A),∪,∩,ˉ, A,?。 （1），（2），（3）均被称为具体代数结构。 11.1.1 代数结构的组成 例11.2 （4）设S为一非空集合，? 为S上满足结合律、交换律的 二元运算，那么S, ?为一代数结构,称为一个抽象代数结构， 常是一类具体代数结构的抽象。例如N，+， ρ(A),∪ ， ρ(A),∩ 都是S, ?的具体例子；M, ? 则不是S, ?的 具体例子，因为矩阵乘“?”不满足交换律。 11.1.2 代数结构的特殊元素 定义11.3 S, ?为一代数结构。如果er，el (er?S，el?S)对任意元素 x?S分别满足 x?er = x ，el?x = x， 那么分别称er，el为S, ?（关于运算?）的右幺元和左幺元。 如果e?S，且e同时为S, ?的右幺元和左幺元，那么称e为代 数结构S, ?的（关于运算?的）幺元。 11.1.2 代数结构的特殊元素 定义11.4 S, ?为一代数结构。如果or，ol (or?S，ol?S)对任意 元 素x?S分别满足 x?or = or ，ol?x = ol， 那么分别称or，ol为S, ?（关于运算?）的右零元和左零元。如果o?S，且o同时为S, ?的右零元和左零元，那么称e为代数结构S, ?的（关于运算?的）零元。 11.1.2 代数结构的特殊元素 定理11.2 代数结构S，?有关于 ? 运算的零元，当且仅当它同时有 关于 ? 运算的左零元和右零元。 强调指出： （l）左、右幺元，幺元，左、右零元，零元都是代数结构的常元。 （2）左、右幺元，幺元，左、右零元，零元都是依赖于代数结构 中的运算的。 （3）今后，在不致造成混淆时，不再一一指出特殊元素是关于什 么运算的，但当代数结构中有两个或两个以上的运算时仍将 对此作出申明。 11.1.2 代数结构的特殊元素 定义11.5 设代数结构S,?,e 中e为幺元，x,y为S中元素， 若x?y＝e，那么称x为y的左逆元，y为x的右逆元。 若x?y＝