数学专题4解析几何中的范围问题(研究性学习之二).docVIP

高考复习专题二十四　 解析几何中的范围问题（研究性学习之二） 　　在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。对此，一般情况下的解题思路，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。在这里，我们对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。　　一、“题设条件中的不等式关系”之运用　　事物都是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。在解决范围问题时，不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为解题的关键环节.　　例1、（2004浙江卷）已知双曲线中心在原点，右顶点为A（1，0），点P、Q在双曲线右支上　　 ，点M（m，0）到直线AP的距离为1.　　（1）若直线AP的斜率为k，且 ，求实数m的取值范围；　　（2）当 时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程.　　分析：对于（1），已知直线AP的斜率k的取值范围，要求m的取值范围，首先需要导出k与m的关系式；对于（2），则要利用三角形内心的性质，三角形内心到三边距离相等；三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线；三角形面积等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质，还要视题设条件的具体情况来定夺.　　解：　　（1）由已知设直线AP的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0　　点M到直线AP的距离为1　　 　　　　　　　　 　　 　　 ，　　解得 或 　　所求m的取值范围为 .　　（2）根据已知条件设双曲线方程为 　　当 时，点M的坐标为（ ）.　　A(1,0)， ，　　点M到直线AP的距离为1，　　APQ的内切圆半径r＝1，　　PAM＝45°，　　 （不妨设点P在第一象限）　　直线PQ的方程为 ，　　直线AP的方程为y＝x－1　　因此解得点P的坐标为（ ）　　将点P坐标代入双曲线方程 得 　　所求双曲线方程为 　　即 .　　点评：这里的（1），是题设条件中明显的不等关系的运用；　　这里的（2），审时度势的求解出点P坐标，恰如“四两拨千斤”.同学们请注意：一不要对三角形内心敬而生畏，二不可总想利用某一性质。沉着冷静地分析、认知问题，便会逐渐拨开云雾，寻出解题方向.　　例2、（2004全国卷 I ）设椭圆 的两个焦点是 ，且椭圆上存在点P使得直线 垂直.　　（1）求实数m的取值范围；　　（2）设L是相应于焦点 的准线，直线 与L相交于点Q，若 ，求直线 的方程.　　分析：对于（1），要求m的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为第一标准方程，因而这里应有 ， 便是特设条件中隐蔽的不等关系.　　对于（2），欲求直线 的方程，注意到这里题设条件与点P的密切关系，故考虑从求点P坐标突破.　　解：　　（1）由题设知 　　设点P坐标为 ，则有　　 　　化简得 　　　　　　　　 　　将与 联立，解得 　　m0，且 　　m≥1　　即所求m的取值范围为 .　　（2）右准线L的方程为 　　设点 　　 　　　　　　　　　　 　　（）将 代入得　　 　　　　　　　　　　又由题设知 　　由得 ，无解.　　（）将 代入得　　 　　　　　　　　 　　由题设得 　　由此解得m＝2　　从而有 　　于是得到直线 的方程为 　　点评：对于（1），解题的关键是发掘并利用题设条件中隐蔽的不等式 对于（2），以求解点P坐标 为方向，对已知条件 进行“数形转化”，乃是解决此类已知线段长度之比问题的避繁就简的基本策略.　　二、“圆锥曲线的有关范围”之运用　　我们在学习中已经看到，椭圆、双曲线和抛物线的“范围”，是它们的第一几何性质。事实上，我们研究“范围”，一在于认知：认知圆锥曲线特性；二在于应用：“应用”它们来解决有关问题。　　例、以 为焦点的椭圆 与x轴交于A，B两点　　（1）过 作垂直于长轴的弦MN，求AMB的取值范围；　　（2）椭圆上是否存在点P，使APB＝120°？若存在，求出椭圆离心率e的取值范围.　　解：　　（1）基于椭圆的对称性，不妨设定 为右焦点，M在第一象限，则易得 ，　　设A(－a,0)，B(a,0)，则AMB为直线AM到BM的角，　　又 　　利用公式得 　　　　　　　　　　此时注意到椭圆离心率的范围：0e1，　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由得 　　由此解得 　　（2）设椭圆上存在点P使APB＝12