数值计算及其软件实现试卷.docVIP

中南林业科技大学 硕士研究生课程考试试卷 课程名称：数值计算及其软件实现 学 号： 考生姓名： 程学良 任课教师： 李立君 考试时间： 2011-10-10 一、简答题（20分） 1、(a+b)+c=a+(b+c)在数值计算中是否总成立？为什么？ 答：不一定，因为加法运算在数值计算中当数量级相差很大时，如不注意运算次序有可能出现出现大数吃掉小数的现象。 2、对什么类型的方程组用高斯消元求解时不需选主元？ 答：当方程组系数矩阵为对称正定矩阵时，用高斯消元法计算是数值稳定的，不需选主元。 3、什么叫龙格( Runge)现象？ 答：对于代数插值来说，插值多项式的次数很高时，逼近效果往往很不理想。例如，考察函数f(x)=1/(1+x2)，-5≤x≤5，设将区间[-5,5]分为n等分，Pn(x)表示取n+1个等分点作节点的插值多项式,当n增大时,Pn(x)在两端会发出激烈的振荡，这就是所谓龙格现象。 4、在数值计算中是否总是对的？为什么？ 答：不一定。因为在计算机中和9+数值计算只能近似表示，像等式左边那样两相近数相减时，如设定精度不当，有效数字会严重损失，导致其并不等于等式右边的计算结果。 5、在插值区间上，是否插值节点越多，计算结果越精确？为什么？ 答：不是。随着插值节点的增加，插值多项式的次数也在相应增加，而高次插值多项式效果并不理想（一般以不超过6次为宜），节点的增多当然能使插值函数P(x)在更多地方与f(x)相等，但是在两个节点之间P(x)不一定能很好地逼近f(x),有时差别很大（龙格现象）。 6、何为定步长求积公式？何为变步长求积公式？一般在数值求积中，采用前者还是后者？ 答：将区间[a,b]n等分，步长为h=(b-a)/n，分点为xk=a+kh(k=0,1,2,…，n),以此分点为节点，构造插值型求积公式，这种方法为定步长求积公式，若要求达到某个计算精度，则必需选取适当的步长，这不是一件很容易的事情，在实际应用中，经常采用自动选择积分步长h的方法（变步长求积），即在求积分的过程中，将步长逐步折半，反复利用复合求积公式，直到相邻两次的计算结果之差的绝对值小于允许的误差为止。 7、在计算机上按公式x0=0, xi=xi-1+0.001(I=1,2,3,…，1000)，计算x1000 ，是否必得x1000=10？为什么？ 答：不一定。因为在数值计算中有时数量级相差很大，而计算机字长有限，如不注意运算次序就有可能出现大数吃掉小数的现象，影响计算结果的可靠性。 8、写出求最小二乘拟合多项式的计算步骤。 答：(1)描草图； (2设拟合曲线方程； (3)建立正规方程组； (4)解方程组。 9、写出复化辛普生求积公式和复化梯形求积公式的关系式。 答：（其中为复化辛普生求积）。 其中， 10. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是 那么yp,yc分别为( D )． (A) (B) (C) (D) 二、(30分) 设有线性方程组， 1、用高斯消元法求解Ax=b； x=b； 3、用雅可比迭代法解Ax=b； 4、用高斯赛德尔迭代法解Ax=b； 5、用超松驰迭代法解Ax=b； 取初值向量x(0)=(0, 0, 0, 0)T. 要求：写出每一中方法的迭代格式，并用任一种语言(matlab,fortran,c,etc.)写出源程序，同时写出流程图。 解：线性方程组Ax=b，其中系数矩阵A=[4,-2,0;1,1,-1;1,2,-1],右端列向量b=[1,0,1]’ 1.高斯消元法的MATLAB程序 流程图 YES NO 2.一般迭代法的MATLAB程序 迭代格式： 流程图 YES NO 3．雅克比迭代法分量形式的MATLAB程序 迭代格式： 流程图 YES NO 4．高斯赛德尔迭代法向量形式的MATLAB程序 迭代格式：，i=1,2,…，n;k=0,1,2,… 流程图 YES NO 5．超松弛迭代法分量形式的MATLAB程序 迭代格式：，i=1,2,…，n