chap1_变分法及其在最优控制中的应用.pptVIP

解得五个未知数 所以，最优控制为： 最优轨线为： 例1.6.5 给定一阶系统 求使系统从x(0)=1转移到x(tf)=0， tf可变，且使性能泛函 达到极小值的最优控制u*(t)。其中?和?均为确定的常数。 解：这是终态固定、终端时刻tf可变的最优控制问题。写出哈密顿函数 控制方程、规范方程为 由边界条件 当?=?=1时，由此解得 §1.6 利用变分法求解最优控制问题 对于最优控制问题来说，当状态变量和控制变量均不受约束，即 X(t)?Rn，U(t) ?Rm时，是个在等式约束条件下求泛函极值的变分问题，因此，可以利用在上一节中介绍的拉格朗日乘子法来求解。在这一节中，利用拉格朗日乘子法求解最优控制问题时，将引入哈密顿（Hamilton）函数，推导出几种典型的最优控制问题应满足的必要条件。 1.6.1 拉格朗日问题的解 问题1.6.1 给定系统状态方程 (1.6.2) 初始条件 (1.6.1) 终端条件：tf固定，X(tf)自由和性能泛函 (1.6.3) 要求从容许控制U(t) ?Rm中确定最优控制U*(t)，使系统（1.6.1）从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf) ，并使性能泛函（1.6.3）达到极小值。这是拉格朗日问题，又称为积分型最优控制问题。 解：将状态方程（1.6.1）改写为 (1.6.4) 于是，上述最优控制问题就变成为在微分方程（1.6.4）约束条件下求泛函（1.6.3）极值的变分问题。利用拉格朗日乘子法，引入n维拉格朗日乘子向量 ? (t)=[? 1(t), ? 2(t),…, ? n (t)]T ? (t)称为协态变量，以便与状态变量相对应。 构造辅助泛函 (1.6.5) 其中， (1.6.6) 于是，求泛函（1.6.3）在等式（1.6.1）约束条件下的极值问题，就转变成为求泛函（1.6.5）的无约束条件的极值问题。定义哈密顿（Hamilton）函数为 (1.6.7) 它是一标量函数，则式（1.6.6）变为 利用变分法可以写出辅助泛函（1.6.5）的欧拉方程 (1.6.8) 将式（1.6.8）代入上式，得 （1.6.11） （1.6.10） （1.6.9） 协态方程（或共轭方程） 状态方程 规范方程 （或正则方程） 控制方程 （1.6.12） 初始状态为 由于终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由，所以横截条件为 考虑式（1.6.8），得 （1.6.13） 式（1.6.9）～（1.6.13）就是式（1.6.1）～（1.6.3）所给定的最优控制问题的解应满足的必要条件。这些条件也可以由求辅助泛函J0对状态变量X(t)和控制变量U(t)的变分中推导出来。 联立求解规范方程（1.6.9）和（1.6.10）可以得到两个未知函数X(t)和? (t)，其一个边界在始端（1.6.12），另一个边界在终端（1.6.13），故称为混合边界问题或两点边界值问题。 求解两点边界值问题步骤 由控制方程（1.6.11）求得 U=U[X(t)，?(t)，t] （1.6.14） 将式（1.6.14）代入规范方程（1.6.9）和（1.6.10）消去其中的U(t)，得到 （1.6.15） （1.6.16） 利用边界条件（1.6.12）和（1.6.13）联立求解方程（1.6.15）和（1.6.16），可得唯一确定的解X(t)和?(t)。 将所求得的X(t)和?(t)代入式（1.6.14）中，可求得相应的U(t)。 说明： （1）对于两点边界值问题，一般难以求得其解析解，通常需要采用数值计算方法求其数值解。 （2）利用引入哈密顿函数的方法求解拉格朗日型最优控制问题，是将求泛函（1.6.3）在等式（1.6.1）约束条件下对控制函数U(t)的条件极值问题转化为求哈密顿函数H对控制变量U(t)的无条件极值问题。这种方法称为哈密顿方法。 定理1.6.1 设系统的状态方程 则为将系统从给定的初态 转移到终端时刻 tf固定，终端状态X(tf)自由的某个终态，并使性能泛函 达到极小值的最优控制应满足的必要条件是 （1）设U*(t)是最优控制， X*(t)是