Chapt7能量原理.pptVIP

位移的变分通过 ， 的变分来反映，故应变能的变分为 （2）位移(a)还必须满足位移变分方程 将式(d)，( f )代入(e)得 因虚位移（位移变分）中的 ， 是完全任意的，独立的，为了满足上式，必须: 式(g)是瑞利-里茨变分方程。它是关于 ， 的线性代数方程组，由上式可解出 ， ,从而得到位移的解答。 2.伽辽金法（不讲） （1）设定位移试函数如式(a)所示，但令 u,v 不仅满足 上的位移边界条件， 而且也满足 上的应力边界条件 （用u,v表示）。 Ritz 法举例1 a a b b x y η o 图示矩形薄板，不计体力，三边固定，上边（自由边）有给定的位移： 用位移表示，取一个单位厚度 平面应力应变能表达式（设为单位厚度） 取一项，位移设定为 可以满足全部位移边界条件，且位移的对称性也满足 由于不计体力，且没有应力边界条件，固有 求出U,得到A1，B1，位移最后解答为 图示矩形板a×b，在上边及右边受有均布压力 及 ，而左边和下边受有法向连杆的约束。 Ritz 法举例2 应用瑞利-里茨法 ，设定位移 满足两个约束边界条件 (a) (b) 其余的应力边界条件及平衡微分方程由下列变分方程代替（其中 ）： (c) 对式(c)右边的积分，应包含所有的应力边界条件（当 或 处积分为0）， 且其中的 ， 应代入相应的边界方程。将式(a)代入 U ，计算式(c)的左边项。 共建立两个方程，求出 和 ，得位移解答： (d) 对于图示的简单问题，式(d)正好是其精确解。 例题3 图中表示一板块，在铅直方向均布拉力作用下发生拉伸变形，并使之两端固定下来，若在其中切开一小口AB时，试说明板的形变势能将发生什么变化？ C D E F A B 解： ⑴当AB线切开时，AB线上的应力趋于 0。而形变势能是正定的， ，当这部 应力 时，相应的形变势能也失去。因 此，板的总的形变势能减少。 ⑵ 当AB线切开后，边界CD和EF仍是固定的，我们可以比较两种状态： (b) AB线张开，出现裂纹。这是稳定的平衡状态。由于系统的稳定平衡状态与邻近的状态相比，总势能处于极小值，而(a)，(b)两种状态的外力势能不变，因此，(b)的形变势能小于(a)，即形变势能将减少。 (a) AB切开后， AB线仍然处于闭合状态， 不发生张开。这是不稳定的平衡状态； 例题4 图中所示的薄板，厚度 ，三边固定，一边受到均布压力q的作用。试用瑞利-里茨的位移变分法求解，其中取 ， 。 a a b x y q 解：在瑞利-里茨法中， 设定位移试函数应满 足位移边界条件，并 应反映图示问题的对称性。取 上式已反映了位移对称于y轴的要求：v为x的偶函数，u为x的奇函数。 仅取各一项进行运算， 由于体力 ，面力只存在于AB边 （　　　），因此求解　 的位移变分方程 为： 当 ，且取泊松系数 时，形变势能简化为 将u，v 代入, （a） （b） 形变势能U为 将U及 代入式(a)，(b)，得 (c) (d) 从式(c)， (d)解出 于是得到位移分量， 再求应力分量，取 ，得： 在对称轴上，x=0， , 在 边界， , 本题中，由于u，v中各只取一项，且取 ，因此，求出的位移解的精度较低；而由近似解的位移求应力时，其应力精度要降低一阶，其精度更差些。对于实际问题，应取更多的项数进行计算。 Finite Element Method (FEM) 离散为许多小单元，单元之间通过节点相连。以节点位移作为基本未知量。 单元分析：(1)把单元内各点位移用节点位移表示；(2)把单元内各点应变用节点位移表示； (3)把单元内各点应力用节点位移表示；(4)由虚功方程建立单元节点位移与单元节点力