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因式分解难题解析 詹码论坛站长 在因式分解时，有时会用到以下两个公式： 下面精选了十个实例进行讲解。 01 x3-xy2+x2z-xz2-2xyz+y2z+yz2 分析： 一眼就可看出，这是3次的齐次多项式。 一般选中一个未知数作为主元，统帅其他未知数，主元应按降序排列并分组。 x3-xy2+x2z-xz2-2xyz+y2z+yz2 = x3-xy2-xz2+yz2 +x2z-2xyz+y2z =x(x2-y2)-z2(x-y)+z(x2-2xy+y2) =x(x-y)(x+y)-z2(x-y)+z(x-y)2 =(x-y)(x2+xy-z2+zx-zy) 此题若不进行科学分组会很困难。 02 分析：此题一看就应该知道用双十字相乘法分解。 解： x y 常数项 1 4 -1 1 -2 3 =(x+4y-1)(x-2y+3) 注意：先看前三项，是否与x、y两列相配，再看常数项是否与数字相配，然后再看x、常数项是否与x的系数相配，最后看y、常数项是否与y的系数相配。 作业： ① 提示：先分组再变形最后用十字相乘法。 难度较大。 ② 提示：x2的系数看成0，然后再用双十字相乘法。 x y 1 1 －2 0 1 1 原式＝（x＋y－2）（y＋1） 也可用分组法，以x为主元。 03 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)? 分析： 这个题目一看，映入眼帘的就是3个括号。 瞧瞧 括号里 的 b+c 、 c-a 、a+b，看看这3项是否有某种联系 前两项相加得不出 第3项，但我们发现，后2项相加正好等于第1项。 所以，这个题目中的第1项如果分成两部分，一部分配给第2项，一部分配给第3项会是不坏的注意。 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)? =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)? =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)? =(c+b)(c-a)(a+b)? 作业： ① ② ③ 提示：需要拆分分组。 04 分析： 拿到这道题，一看便知，这是高次，且包含多项的 多项式。 另外，还看到7、-13、6有着某种关系，所以不妨把它们按此发现分组。 这样就有（2x4-2x2）+（7x3-13x+6） 不难把13x分成7x和6x，配给7x3和6。 这样，接着2x2(x2-1)+7x(x2-1)-6(x-1) 至此对后的分解就不在话下了。 对于这道题，细心的人也会发现，各项系数和为0，这意味着x=1是它的根，根据因式定理，就知道x-1是多项式的一个因子，然后，怎么分组都行，只要按照x-1的思路。 作业： x3 +2x2 -5x-6? 提示：当偶次项的系数和（2+（-6）=-4）等于奇次项系数和（1+（-5）=-4）时，就有-1这个根。也就是说，x+1是多项式的一个因式。 05 分析： 拿到这个题目，一看就觉得有某种对称关系： ，，系数分别相等。显然，应该把它们分别结合，然后再考察。 解： 到了这里，似乎走进了死胡同。不用急，你再仔细看看，就会发现x4+1与x2+1长得挺像，一定有某种因缘。 这里采用换元法，x2+1看成y。 对于这种对称式多项式，为了看起来更明显，也可以用倒数换元法，即直接提取一个最高项的次方的一半： 然后令 ，那么 原式= = = = = 作业： ① 提示：看这个多项式有什么特点，然后利用这个特点就可找到路径。 ② 提示：以上要先进行适当变形后，才能进行换元。 ③ (x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1) 提示：一看便知，这是一个很有特色的式子。 除了常数项，就只剩下x+y 和 xy。 很容易想到，对它们工作应该有效。 06 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc 分析： 这是一个轮换对称式，将a换成b，b换成c，c换成a，结果一样。 这样的题目，一般有(a+b)、(b+c)、(c+a)因式，但并不确定。 可以用a+b=0代入多项式中，如果等于0，则有这个因式。 令a+b=0，(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a))(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=0，因此a+b=0是其一个因式。. 同理，b+c、c+a也都是因式，三者的次数也正好是3次，不会有其他因式了。 解： a+b=0，(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a))(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=0. 由此可见，a+b是多项式的一个因式。 同理可知，b+c、c+a都是它的一个因式。 令 (ab+bc