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第3 章 一阶方程的一般理论 Where a mathematical reasoning can be had, it’s as great folly to make use of any other, as to grope for a thing in the dark, when you have a candle standing by you. -Arbuthnot 微分方程的基本问题在于求解及研究解的属性，目的就是要从微分方程的解了解其反 映的自然或社会现象的客观规律，以便正确地解释现实中所出现的各类现象，并预测未来 可能发生的事情．对于一个能反映某一自然或社会现象客观规律的微分方程，若能求出其 通解表达式，就有可能选定其中的任意常数以获得实际所需要的“特解”，并通过特解表 达式了解其对某些参数的依赖情况，从而适当地选择参数，使相应的解具有实际所需要的 性能．然而实际情况却往往不能遂人所愿：（1）能用初等积分法求出通解的微分方程类型 不多．（2 ）实际中提出的微分方程问题总是要求满足某种指定条件的特解，其中最重要且 常见的是要求满足某种初始条件的解，即所谓的初值问题的解．上述两个事实促使人们改 变了原来总想求微分方程通解的想法，转而把对初值问题的研究放到了重要位置． 鉴于能用初等积分法求出通解的微分方程数量极少，微分方程的近似解法就显得尤为 重要．但当看到“近似”二字时，不少人难免会从心理上加以排斥，认为总是不如“精确” 的好．但事实上这是一个认识上的误区，因为在实际应用中并不真正需要所谓的精确解．首 先，在建立微分方程时，往往只考虑那些决定物质运动变化过程的主要因素而忽略一些次 要因素，此时微分方程本身就是近似的．而且根据观察或实验得到的定解条件也存在着一 些误差．因此，对于一个本身就是近似的定解问题去追求它的精确解是没有意义的．其次， 66 近似解至少在原则上可能达到相当高的精确度，完全能够满足实际需要． 无论是从求解的角度还是从微分方程理论的建立的角度看，初值问题解的存在唯一性 的讨论都是最基本的．因为如果初值问题的解根本就不存在，求解本身就没有意义．如果 有解而不唯一，要去确定哪个是你需要的解也不明确．因此，初值问题解的存在唯一性定 理是求解的理论基础和前提条件，而且解的存在性定理的证明过程本身还提供了求初值问 题近似解的实用方法．据此可以说：初值问题的解的存在唯一性定理是整个微分方程理论 中最基本的定理．法国数学家Cauchy1 （1820）在函数f (x,y ) 及f y (x ,y ) 连续的条件下， 首先建立了微分方程初值问题 y f (x ,y ) ，y (x ) y （3.0.1 ） 0 0 的解的存在与唯一性定理，因此后人也常把初值问题称为Cauchy 问题．以后一些数学家 在更广泛的条件下对此作了进一步的改进与推广． 本章将着重讨论一阶微分方程初值问题的解的存在性与唯一性，并讨论解的延伸、解 对初值的连续性与可微性等有关问题．最后，还要介绍奇解的概念及其求法，以及微分方 程的数值解法． §3.1 Picard 逐次逼近法 本节，我们来考察初值问题（3.0.1 ）的求解问题，其中f (x ,y ) 是定义在点(x , y ) 的 0 0 某个邻域上的任意连续函数．用几何语言来说，我们的目的是要寻找一个函数y (x ) ，使 它的图形通过点(x ,y ) ，并在 的某一邻域上满足微分方程 ． 0 0 x 0 y f (x ,y ) 2 下面的解法，称为Picard 逐次逼近法．这一方法的关键在于将初值问题（3.0