高中数学【配套】专题一集合与常用逻辑用语的综合应用.docVIP

专题一　集合与常用逻辑用语的综合应用 1． 在解题过程中，加深对集合之间的关系与集合运算等概念的理解． 2． 正确理解命题及其关系、逻辑联结词与量词等概念，进一步认识集合语言与逻辑语言之间的关系． 3． 在集合运算过程中，要借助数轴、直角坐标系、Venn图等将有关集合直观地表示出来，注意集合与方程、函数、不等式、三角函数、几何等知识的密切联系与综合运用． [难点正本　疑点清源] 1． 集合中的“交”、“并”、“补”与逻辑联结词“且”、“或”、“非”有共同之处，在解题时，可以进行相互转化． 2． 集合运算可以考虑数形结合、借助数轴、Venn图． 1． 已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________. 答案　3 解析　∵A∩B＝{2,3}，∴m＝3. 2． 设集合A＝{3,2a＋1}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＝________，b＝________. 答案　0　2 解析　由A∩B＝{2}知2∈A且2∈B， ∴2a＋1＝2，得a＝0，故有b＝2. 3． “α＝”是“sin α＝”的______________条件． 答案　充分不必要 解析　当α＝时，sin α＝sin ＝，但是sin α＝时，角α不一定是，如α可以是π等，故是充分不必要条件． 4． 命题“对于任意x∈R，|x－2|＋|x－4|3”的否定是_________________． 答案　存在x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3 解析　全称命题的否定是存在性命题，已知命题是全称命题． 5． 设集合Sn＝{1,2,3，…，n}，若XSn，则把X中所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为Sn的奇(偶)子集．则S4的所有奇子集的容量之和为________． 答案　7 解析　∵S4＝{1,2,3,4}，∴X＝，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S4的所有奇子集的容量之和为7. 题型一　集合问题例1　已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}． (1)若A∪B＝A，求实数m的值； (2)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值； (3)若ARB，求实数m的取值范围． 思维启迪：(1)由A∪B＝A得BA，借助数轴求解； (2)结合已知条件，比较集合端点求解； (3)先求出RB，利用子集关系，借助数轴求解． 解　由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}． (1)∵A∪B＝A，∴BA，如图： 有，∴，∴m＝1. (2)∵A∩B＝{x|0≤x≤3}，∴，∴m＝2. (3)RB＝{x|xm－2或xm＋2}． ∵ARB，∴m－23或m＋2－1， ∴m5或m－3. 探究提高　(1)判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合的关系，二是用列举法表示集合，从元素中寻找关系； (2)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数之间的关系(要注意集合本身两个端点的比较)； (3)两个数集之间的关系，常借助数轴判断． 已知集合A＝{x|y＝ }，B＝{x|[x－(a＋1)][x－(a＋4)]0}，分别根据下列条件，求实数a的取值范围． (1)A∩B＝A；　(2)A∩B≠. 解　由1－≥0，得≥0，即≤0， 解得－1x≤0，故A＝(－1,0]，B＝(a＋1，a＋4)． (1)A∩B＝A，即AB，故 得－4a≤－2，故a的取值范围是(－4，－2]． (2)若A∩B≠，则得－5a－1， 故a的取值范围是(－5，－1)． 题型二　充分条件、必要条件问题 例2　已知p：x2－4x－32≤0；q：[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0 (m0)．若“非p”是“非q成立”的必要但不充分条件，求m的取值范围． 思维启迪：先对条件进行化简，非命题可以利用等价命题来求两者间的联系． 解　p：－4≤x≤8，从而p为真时x的取值范围是集合 P＝[－4,8]． 同理可得，q为真时x的取值范围是集合 Q＝[1－m,1＋m]． 因为“非p”是“非q成立”的必要但不充分条件，所以“若非q，则非p”是真命题，但“若非p，则非q”是假命题，即“若p，则q”为真，“若q，则p”为假，故PQ， 从而或，由此解得m≥7， 即m的取值范围是[7，＋∞)．探究提高　解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关