线性代数与2-4(习题课) .pptVIP

1.本章基本内容 矩阵运算 常用算律 几类特殊矩阵的运算 方阵可逆的判定及求逆 矩阵分块的思想方法 例2.2 设 例2.3 已知 例2.5 设 例2.10 设 例2.11 证明: * 第二章 矩阵及其运算 习题课 1. 本章基本内容 2. 常见习题类型 3. 综合例题 4. 课堂练习 (1)加减法 (2)数乘 (3)矩阵乘法 (4)转置 (一定条件下) 矩阵的几种运算 (5)方阵特有的运算 常用算律 (1) (2) (3) 设A是任意方阵，则 若A是可逆阵，则 注意 (1)一般情况下， (2) ，从而 (3) 方阵 几类特殊矩阵的运算 (1)对角阵 几类特殊矩阵的运算 (2)A=PΛP-1时 (3) 主对角分块对角阵 (4) 次对角分块对角阵 (5) 4块的分块下三角阵 均可逆时， 可逆，且 (1) 通过分块将高阶矩阵的运算转化为两重低阶矩阵的运算. 最后将 (2) 特殊分块阵的性质要熟悉. 方阵可逆的判定及求逆 定理2 方阵A可逆 推论 A可逆时， 矩阵分块的思想方法 第二重运算的结果写入第一重运算所得形式矩阵的相应位置时,只写元素! (3) 解题时要有意识地使用分块法来简化计算. 2. 常见习题类型 是非判断题: 考察基本概念、运算律等； 矩阵的基本计算: (1) 具体矩阵的基本运算——注意通过算律的使用降低运算量，必要时 使用分块法简化计算； (2) 求抽象方阵的行列式的值. 求解矩阵方程: 先化为如下标准方程形式之一 (1) AX=B, 其中A可逆, 则X=A-1B; (2) XA=B, 其中A可逆, 则X=BA-1; (3) AXB=C, 其中A,B都可逆, 则X=A-1CB-1. 证明题： (1)关于对称阵的概念的; (2)关于方阵可逆的判定(及求逆)的; (3)关于方阵行列式的值的; (4)与伴随矩阵相关的. 3.综合例题 例2.1 判断下列命题的正误，并说明理由或举出反例: 是n阶方阵,且 , 则 (1) (3) 若 (2) (5) 若 (4) 满足 , 但 分析:(1) (2)(3)上例中的A,B都不是零矩阵. (5)在AB=O的两端左乘A-1即得结论. √ √ × × × 矩阵乘法的消去律： 若AB=AC,且A可逆,则B=C; 若BA=CA,且A可逆,则B=C. 使 成立, 问参数a,b应满足什么条件? 解:由分配律知 故要使 , 应有 事实上, 令 的对应元素相等,得 可见,AB=BA只在特殊条件下成立,即矩阵的乘法没有交换律! 解: 注意到 , 求 从而 例2.4 已知 解: 于是，原问题化为求更特殊的方阵的乘幂： 由于E与B是可交换的，故 此矩阵记为B. P55第7题与此题类似. 例2.4 解续1 例2.4 解续2 例2.4 解续2 是两个2维列向量, 求 解法1 解法2 解:(1) 例2.6 设 由方阵行列式的性质知 (2)的方法1 解: 例2.6 设 (2)的方法2 解: 故 例2.7 已知 解: 因为A可逆，从而 例2.8 已知 解及证：由已知得 例2.9 已知方阵A满足 ,证明A-E可逆,并用A的 多项式表示(A-E)-1. 于是,方阵A-E可逆,且 解: 原矩阵方程可化为 提取公因子得 再提公因子得 其中 证明: 由已知得 于是 从而 又因为 (1) ,所以 再由(1)式知,必有 证毕. 类比: 定义在对称区间上的任意函数都可写成偶函数与奇函数之和 例2.12 证明：任何方阵都可以写成一个对称阵与一个反对称阵之和. 证明: 设A是任意方阵,则显然有 其中 (1) 从而,(1)式右端是一个对称阵与一个反对称阵之和. 证毕. 解: 将原方程记为AXB=C, 则 4. 课堂练习 练习2.1 求解矩阵方程 证明:(1) (2)设A可逆,证明 练习2.2 (1) 设A,A+B都可逆,证明E+A-1B也可逆,并求其逆阵. (2) A可逆,故AT可逆,从而 证毕.