线性代数与2.6标准正交基 .pptVIP

* §2.6 Rn 的标准正交基 定义2.16 在Rn 中, 任意n个 称为Rn 的一组基. 如 为Rn 的一组基. 称为Rn 的标准基, 或自然基. 又如 为R3 的一组基. 一、基, 向量在基下的坐标 线性无关的向量 设 为Rn 的一组基. n+1个 n维向量 线性相关. 线性表示: 线性无关, 从而 可由 且表法唯一. 称为 在基 下的坐标. 如 为R3 的一组基. 在此基下的坐标为 在此基下的坐标为 为Rn 的标准基, 在基 下的坐标为 恰为α的分量. 定义2.18 实数 称为向量?和?的内积. 记为?T?. ? 和 ? 的内积为 二、向量的内积 给定Rn中向量 如 ?T?= 两个n维实向量的内积 说明1) 2) 只有维数相同的 3) 设 则?和?的内积为 是一个实数. 两个向量才有内积. 本书的向量均为列向量， 故一般情况下， 两个向量的内积 记为?T?. ?和?的内积为 内积具有如下性质： ?T ?≥0, ?T ?=0 （分配律） （交换律） 三、向量的长度 定义2.19 非负实数 称为向量?的长度, 或向量?的范数, 记为 对Rn中向量 在 n 维空间Rn 中 例 都是单位向量. （k为实数） 向量的长度具有以下性质： 对任意向量?和?， 有 对Rn中任意非零向量?， 事实上， 用非零向量?的长度 得到一个 称为把向量?单位化。 单位向量, 与?同 方向的 如 是单位向量. 如 去除向量?, 定义2.20 四、正交向量组 ?T?=0, 则称?与?正交 如果 设 ?与?正交 在 n 维空间Rn 中 Rn 中的单位向量组 称为Rn 中的 时, 一般地, 两两正交. ?1,?2,…,?n 正交单位向量组. 定义2.21 则称向量组?1, ?2,…,?s 如 是R3中的正交向量组. 注意： 两两正交, 为正交向量组. 每个向量 正交向量组中， 如果Rn中的非零向量组 即 正交单位向量组. 如果一个正交向量组中， 每个向量都是单位向量, 则该向量组称为 是正交单位向量组. 都不是零向量。 定理2.15 证 一般地， 线性无关. Rn中 是Rn中的正交向量组. 线性无关. 设 时, 设 的正交向量组 定义2.22 在Rn 中, n个向量 为Rn 的一个标准正交基. 如 为Rn 的标准正交基. 又如 为R3 的一组基. 满足： 中， 任意两个都正交； 则称 但不是R3 的标准正交基. * *