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线性代数与5.2-5.3节(3学分)
§3 相似矩阵 * §2 方阵的特征值与特征向量 定义. 注意特征向量一定是非零向量. 性质1. 例1. 解: 性质2. 证: (1) (2) 例2. 性质3. 根据这个结论我们知道属于不同特征值的特征向量线性无关. 解: 定理: 例3. (Ex9) 证: 例4. 例5. (Ex10) 证: 反证法. 证: 1. 求矩阵特征值与特征向量的步骤： (1).计算的特征多项式| A–?E | ; (2). 求特征方程| A–?E | = 0的全部根?1, ?2, ···, ?n, 也就是A的全部特征值; (3). 对于特征值?i, 求齐次方程组(A–?iE )X = 0 的非零解, 也就是对应于?i 的特征向量. (重点) 小结: 2. 特征值和特征向量的三个性质. 3. 利用特征值求行列式. 定义. 我们之所以研究矩阵可对角化, 因为对角矩阵是最简单的矩 阵, 如果矩阵可对角化, 我们就可以利用这个对角矩阵去研究 原来矩阵的性质. 定理. 推论. 证: 证: 结论. 若 f(?)= | A － ? E|为矩阵 A 的特征多项式, 则矩阵 A 的 多项式 f(A)=0. 注意: f(A) ≠|A － A E |. 这个结论的一般性证明是比较困难的, 但是如果矩阵A可对角化, 则很容易证明这个结论. 定理1. 矩阵可对角化的几个判别准则: 证: 反之，把证明过程逆一下就可以了. 推论. 若 n 阶矩阵 A 有 n 个互不相等的特征值, 则 A 可对角化. 结论: 证: 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 根据条件知道A 有 n 个互不相等的特征值, 所以A 有 n 个线性无关的特征向量. 所以根据上面的定理我们知道矩阵A可对角化. 注意这个判别准则不是充要条件. 定理2. 例1. 解:
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