线性代数与3.1-3.3 .pptVIP

因为 解 例2 求矩阵A的秩? 并求A的一个最高阶非零子式? 其中 所以R(A)?3? 为求A的最高阶非零子式? 考虑由A的 1、2、4 列构成的矩阵 因为A0的子式 所以这个子式是A的最高阶非零子式? 注? 以B为增广矩阵的线性方程组Ax?b是无解的? 这是因为行阶梯形矩阵的第3行表示矛盾方程0?1? 例3 求矩阵A及B?(A? b)的秩? 其中 对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵? 设B的行阶梯形矩阵为 B0?(A0? b0)? 则A0就是A的行阶梯形矩阵? 故从B0?(A0? b0)中可同时看出R(A)及R(B)? 解 因为 所以R(A)?2? R(B)?3? 例4 设 ? 已知R(A)?2? 求?与?的值? 解 因R(A)?2? 故 (6)R(A?B)?R(A)?R(B)? (5)max{R(A)? R(B)}?R(A? B)?R(A)?R(B)? 特别地? 当B?b为列向量时? 有 R(A)?R(A? b)?R(A)?1? (4)若P、Q可逆? 则R(PAQ)?R(A)? 这是因为(A?B? B)~(A? B)? 于是 R(A?B? B)?R(A? B) R(A?B)? ?R(A)?R(B)? 矩阵秩的性质 (1)0?R(Am?n)?min{m? n}? (2)R(AT)?R(A)? (3)若A~B? 则R(A)?R(B)? 矩阵秩的性质 (8)若Am?n Bn?l?O? 则R(A)?R(B)?n? (7)R(AB)?min{R(A)? R(B)}? (6)R(A?B)?R(A)?R(B)? (5)max{R(A)? R(B)}?R(A? B)?R(A)?R(B)? 特别地? 当B?b为列向量时? 有 R(A)?R(A? b)?R(A)?1? (4)若P、Q可逆? 则R(PAQ)?R(A)? (1)0?R(Am?n)?min{m? n}? (2)R(AT)?R(A)? (3)若A~B? 则R(A)?R(B)? 提示? 而R(E?A)?R(A?E)? 所以 R(A?E)?R(A?E)?n? 例5 设A为n阶矩阵? 证明R(A?E)?R(A?E)?n? 证明 因为(A?E)?(E?A)?2E? 由性质(6)? 有 R(A?E)?R(E?A) ?R(2E)?n? R(A?B)?R(A)?R(B)? §3.4 线性方程组的解 我们知道? n未知数m个方程的线性方程组 可以写成 Ax?b? 其中A?(aij)? x?(x1? x2? ? ? ?? xn)T? b?(b1? b2? ? ? ?? bm)T? 矩阵 B?(A b)称为线性方程组的增广矩阵? 线性方程组如果有解? 就称它是相容的? 如果无解就称它不相容? 定理1 n元线性方程组Ax?b (1)无解的充分必要条件是R(A)?R(A? b)? (2)有唯一解的充分必要条件是R(A)?R(A? b)?n? (3)有无限多解的充分必要条件是R(A)?R(A? b)?n? 说明? Ax?b无解?R(A)?R(A? b)的等价叙述? ①Ax?b无解?R(A)?R(A? b)? R(A)?R(A? b)?Ax?b无解? ②R(A)?R(A? b)?Ax?b有解? R(A)?R(A? b)?Ax?b无解? 要证明定理? 只需证明? R(A)?R(A? b)?Ax?b无解? R(A)?R(A? b)?n?Ax?b有唯一解? R(A)?R(A? b)?n?Ax?b有无限多解? 定理2 线性方程组Ax?b有解的充分必要条件是R(A)?R(A? b)? 定理3 n元齐次线性方程组Ax