概率密度与和分布函数 .ppt

观测数据的分析与处理随机变量及其分布：概率密度和分布函数 [例]设某工厂产品中成分A的含量受不可控的随机因素影响而有波动。工厂每2小时测量一次A的百分含量，记为x。下表是一个时间段的数据。 随机变量及其分布： 概率密度和分布函数 级宽或段宽 （将随机变量x的整个取值范围分成有限个区段，每个级段的取值范围即为级宽或段宽） 级频数 （每个级段中数据值出现的次数） 相对频数或频率 （将级频数被样本中数据总个数相除，相当于x取值在该级段的概率。） 分级频数分布图 概率密度 为了使分布图有更好的泛化可以性，将相对频数除以级宽，得到概率密度： 级宽取微量： 概率密度p对x的曲线称为概率密度分布曲线，简称概率分布曲线、分布曲线等。 随机变量及其分布： 概率分布的数字特征 不同性质事物对象具有各种不同形状的分布，为了定量地区别各种分布的特征，通常采用的一组判别指标，称为分布的数字特征。 [1]算术平均值 总体： 样本： 随机变量及其分布： 概率分布的数字特征 [2]方差 总体： 样本： 随机变量及其分布： 概率分布的数字特征 [3]偏斜度 总体： 样本： 随机变量及其分布： 概率分布的数字特征 [4]峭度或峰态 总体： 样本： 随机变量及其分布： 离散型随机变量的概率分布 客观世界很多随机过程经分析后可以用某种数学模型表示。不同的物质现象有可能用类似的模型描述。 重点：介绍若干重要的随机分布模型。 离散均匀分布 二项分布 多项分布 负二项分布 几何分布 超几何分布 扩充几何分布 泊桑分布 离散均匀分布 分布模型条件： （1）每次试验可以有k种结果： （2）每种结果出现的概率均相等。 数学模型： 均匀分布的数字特征： 二项分布 分布模型条件： （1）设试验系由n次观测组成。 （2）每次观测只有“是”和“非”两种可能的结果出现。 （3）观测结果中出现“是”的概率为常数p ，而出现“非”的概率为q=1-p。 （4）每一次观测均为独立的，即每次观测的结果不受其它任何一次观测的影响。 二项分布 在n次观测中“是”出现x次的概率呈二项分布，模型： 二项分布 二项分布的数字特征： 总体平均值 对 的方差 总体的方差为 二项分布 [例] 已知某厂生产某A产品的合格率75%，现进行一试验，随机地检查3个产品，看它是否合格。定义不合格产品为“是”，则试验结果为“是”的次数x作为随机变量，可取：0，1，2，3中一个值。 多项分布 分布模型条件（二项分布的一种扩充模型 ）： （1）每次观测可以有k种可能的结果出现： ，而各种结果都相互排斥。 （2）各种结果出现的概率分别为常数： 。 （3）每一次观测均为独立，即每次观测的结果不受其他任何一次观测的影响。 多项分布 则n次试验的结果，出现： 次 ， 次 ，…， 次 的概率系多项分布，表示为： 负二项分布 分布模型条件： （条件与二项试验相仿，考虑问题的角度相反 ） （1）由多次独立观测构成的试验。 （2）每次观测只有“是”和“非”两种可能的结果出现。 （3）结果为“是”的概率为常数p。 得到k次“是”所需的观测次数x的概率系负二项分布： 负二项分布 [例] 由统计知道某药剂的有效率为60%，将该药剂用于一组病人。当用到第7名病人时，累计有效的病人数增加到5名的概率为多少？ 解：除了最后一次按题意必须成功之外，其余（7-1）次中有（5-1）次成功的方式共有 种，因此，满足要求的概率为： 负二项分布 负二项分布的数字特征为： 几何分布 这是负二项分布当 时的一个特例，即：得到第一次“是”所需要的试验次数为x时的概率。设，出现“是”的概率为p，几何分布的模型描述为： 几何分布的数字特征为： 几何分布 [例] 由统计结果已知某生产过程平均每100件产品中有1件废品。随机检查到第5件产品，发现废品的概率为多少？ 解：这是几何分布， ，则 超几何分布 是二项分布的一种变型，其条件为： （1）对象为有限的N个物体，其中k件为“是”，N-k为“非”。 （2）从N个物件中，随机地逐个取出n件，且每次取出后没有替换。 则在n件中出现“是”的次数x系超几何分布，其模型描述为：