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第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 §2 中心极限定理 退 出 前一页 后一页 目 录 第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 大数定律的定义 切比雪夫大数定律 贝努里大数定律 辛钦大数定律 退 出 前一页 后一页 目 录 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 问题：测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么 以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的 次数足够多，总可以达到要求的精度？ 我们把这问题给出数学表达： 这里反映了什么样的客观统计规律呢？ 如果工件的真值为 退 出 前一页 后一页 目 录 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 即大量测量值的算术平均值具有稳定性。 这就是大数定律所阐述的。 测量的经验就是： 退 出 前一页 后一页 目 录 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 定义1 若对任意 想想：数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列  收敛性的区别。 一、定义 退 出 前一页 后一页 目 录 第五章 大数定律及中心极限定理 定义2 对任意 §1 大数定律 退 出 前一页 后一页 目 录 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 定理1 （契比雪夫大数定律） 且具有相同的数学 期望及方差， 退 出 前一页 后一页 目 录 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 由切比晓夫不等式得： 证： 思考：能否把定理中独立性条件减弱？ 退 出 前一页 后一页 目 录 第五章 大数定律及中心极限定理 定理2（贝努里大数定律）(Bernoulli大数定律) 证：令 §1 大数定律 退 出 前一页 后一页 目 录 第五章 大数定律及中心极限定理 由定理1有 该定理给出了频率的稳定性的严格的数学意义。 §1 大数定律 退 出 前一页 后一页 目 录 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。 定理3（辛钦大数定律） 且具有数学期望 思考：比较辛钦大数定律与切比晓夫大数定律条件的  差别及强弱。 退 出 前一页 后一页 目 录 第五章 大数定律及中心极限定理 §2 中心极限定理 定义 独立同分布的中心极限定理 李雅普诺夫定理 德莫佛-拉普拉斯定理 用频率估计概率时误差的估计 退 出 前一页 后一页 目 录 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 一、定义 退 出 前一页 后一页 目 录 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 定理1 （独立同分布的中心极限定理） 中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。 二、中心极限定理 退 出 前一页 后一页 目 录 第五章 大数定律及中心极限定理 例1 一加法器同时收到20个噪声电压， 设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上 服从均匀分布，记 §2 中心极限定理 退 出 前一页 后一页 目 录 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。 例2 解： 设最多可装 n 箱，保障不超载的概率大于0.977。 由中心极限定理有 第五章 大数定律及中心极限定理 §2 中心极限定理 退 出 前一页 后一页 目 录 例5（续） 因此最多可装 98 箱，保障不超载的概率大于0.977。 第五章 大数定律及中心极限定理 退 出 前一页 后一页 目 录 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 定理2 （李雅普诺夫定理） (Liapunov定理) 则 服从中心极限定理，即： 退 出 前一页 后一页 目 录 第五章 大数定律及中心极限定理 由定理1有结论成立。 定理3（德莫佛-拉普拉斯定理） (De Moivre--Laplace) 证明：由二项分布和两点分布的关系知 其中 相互独立且都服从于两点分布，且 §2 中心极限定理 退 出 前一页 后一页 目 录 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 推论： 说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率  计算方法。 退 出 前一页 后一页 目 录 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 例3 系统由100个相互独立起作用的部件组成，每 个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有 85个部件正