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习 题 课 概率论基础 一、内容小结 二、作业点评 大作业点评 三、典例分析 五 四、4 注意样本空间的划分 导致结果发生的有4个事件 例1：设A, B为二相互独立的事件，P(A?B)=0.6, P(A)=0.4, 求P(B)。 解法一： 解法二： 解法三：由已知，P(AB)=P(A)P(B), P(AB)=0.4P(B), 如图B-A=(A ? B)-A,P(B-A)=0.6-0.4=0.2 P(B)=P(AB)+P(B-A)=0.2+0.4P(B) 所以 P(B)=1/3 例2 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统(Ⅰ)和(Ⅱ)，每种系统单独使用时，系统(Ⅰ)和系统(Ⅱ)的有效概率分别为0.92和0.93，在系统(Ⅰ)失灵的情况下，系统(Ⅱ)仍有效的概率为0.85，求两个报警系统至少有一个有效的概率。 记A=“系统(Ⅰ) 有效”,B=“系统(Ⅱ)有效”,由已知, 解: 例3 某地区一工商银行的贷款范围内,有甲、乙两家同类企业。设一年内甲申请贷款的概率为0.25，乙申请贷款的概率为0.2，当甲未申请贷款时，乙向银行申请贷款的概率为0.1，求在乙未申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率。 解: 设事件A=“甲申请贷款”,事件B=“乙申请贷款” 例4 任意将10本书放在书架上.其中有两套书,一套3卷, 另一 套4卷.求下列事件的概率: 3卷一套的放在一起; (3) 两套各自放在一起; (4) 两套中至少有一套放在一起; (5) 两套各自放在一起,还按卷次顺序排好. 设事件A=“3卷一套的放在一起”，B=“4卷一套的放在一起”，C=“两套各自放在一起”，D=“两套按卷次顺序排好” (1) 3卷一套的放在一起,可把3卷看作一个整体,共有8个 位置,不同的放法共有8!种,3卷之间可以任意排列,共有3!种 放法,所以 (2) 4卷一套的放在一起; (2) 同理 解: (3) 两套各自放在一起,可把两套分别看成两个整体,则 例4 任意将10本书放在书架上.其中有两套书,一套3卷, 另一 套4卷.求下列事件的概率: 3卷一套的放在一起; (3) 两套各自放在一起; (4) 两套中至少有一套放在一起; (5) 两套各自放在一起,还按卷次顺序排好. 设事件A=“3卷一套的放在一起”，B=“4卷一套的放在一起”，C=“两套各自放在一起”，D=“两套按卷次顺序排好” (2) 4卷一套的放在一起; 解: 例5 设由以往记录的数据分析,某船只运输某种物品损坏2%,10%,90% 的概率分别为0.8,0.15,0.05. 随机独立地取三件,发现均为好的,求此时损坏为2%的概率(设物品数量很多,取出一件不影响再次抽取的概率) 设“取三件均为好的”记为事件B，则 解: 设“损坏2%,10%,90%”的事件分别为 易知A1，A2，A3是样本空间S的一个划分， 由贝叶斯公式，有 例6 要验收一批乐器共100件,从中随机地取3件来测试(设测试是相互独立的),若3件中任意一件音色不纯,这批乐器就拒绝接收.设一件音色不纯乐器经测试查出的概率为0.95,而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01.若100件中有4件音色不纯,求这批乐器被拒绝接收的概率. 设B “乐器被拒绝接收”,由全概公式，得 设Ai为“所取3件有i件音色不纯”,i=0,1,2,3,则A0,A1,A2,A3是 样本空间S的一个划分。 解: 例7. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，甲乙的命中率分别为0.6和0.5,已知目标被击中，求甲击中目标的概率. 分析：这首先是一个条件概率问题. 设 A，B分别代表甲乙击中目标的事件, 所求为 由已知 P(A)=0.6 P(B)=0.5 同理 独立性 * * 第一章 概率论基础 一、内容小结 二、作业、大作业点评 三、典例分析 1. 基本概念 随机试验,样本空间, 样本点,随机事件,概率,条件概率,几何概率;事件的互不相容,事件的独立性. A与B互不相容 ? A∩B= ? A与B相互独立 ? P(AB)=P(A)P(B) 2. 事件间的基本运算 注:当P(A),P(B)0两者不能同时成立 3. 概率的计算方法 ? 直接计算 注:放回抽样,不放回抽样, ? 利用公式 条件概率公式 乘法公式 加法公式 分子分母针对同一样本空间. 重要技巧 贝叶斯公式 全概率公式 事件的独立性 √ 这是A,B,C全部发生的对立事件，它表示的是A,B,C不都发生（至少有一个不发生） P27T2(3) 表示A,B,C都不发生 2.P27T2(2) 表示