概率第十与六讲 4.3-4.5 .pptVIP

* 首页 返回 退出 北京信息科技大学 统计系 首页 返回 退出 北京信息科技大学 统计系 1．二维正态分布 3．中心极限定理 2．正态随机变量的线性函数的分布 第十六讲 二维正态分布及中心极限定理 4. 小结 一、二维正态分布(第三节) 若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度 但对下述情形，独立与不相关等价 若(X,Y)服从二维正态分布，则 X与Y独立 X与Y不相关 前面，我们已经看到： 相互独立 不相关 解： 例1 二、正态随机变量的线性函数的分布 ？ N( , ) ？ N( , ) 解： 例2 X与Y相互独立，X~N(0, 1), Y~N(1, 1).则 X+Y～N( , ), X－Y～N( , ), A. P(X+Y≤0)=0.5 B. P(X+Y≤1)=0.5 C. P(X－Y≤0)=0.5 D. P(X－Y≤1)=0.5 1 2 －1 2 概率为0.5，对称轴的左边或右边. √ 解： 例3 X与Y相互独立，X~N(－3, 1), Y~N(2, 1). 若Z=X－2Y+7, 求Z的概率密度fZ(z). 因为X与Y独立，X~N(－3, 1), Y~N(2, 1) 所以Z=X－2Y+7～N( , ) 其中μ=E(Z)=E(X－2Y+7) =E(X)－2E(Y)+7 =－3－2×2+7=0 0 其中σ2=D(Z)=D(X－2Y+7) =D(X)+4D(Y)+0 =1+4×1+0=5 5 解： 例4 X与Y相互独立，X~N(1, 2), Y~N(1, 2). 求|X－Y|的数学期望，方差. 因为X与Y独立，且都服从正态分布 所以 Z＝X－Y～N( , ) 0 4 解： 例5 设活塞的直径(单位cm)X～N(22.40, 0.032),气缸的直径Y～N(22.50, 0.042), X,Y相互独立. 任取一只活塞,任取一只气缸,求活塞能装入气缸的概率. 所求概率为P(XY) =P(X－Y0) 因为X～N(22.40, 0.032), Y～N(22.50, 0.042), 所以X－Y～N(－0.10, 0.052), P(X－Y0) =0.9772. 三、中心极限定理 独立随机变量的和的分布趋于正态分布. 有关论证随机变量的和的极限分布的定理,称为中心极限定理. 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差X，就受着许多随机因素的影响. 空气阻力所产生的误差X2， 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响. 如瞄准时的误差X1， 炮弹或炮身结构所引起的误差X3等等. 定理1（独立同分布下的中心极限定理） 设X1,X2, …是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…,n,…，则将 标准化，有 进一步有 X1,X2, …是独立同分布, 则 解： 由题意知，V1,V2,…V20独立同分布, Vk服从(0,10)上的均匀分布. 例6 所以 E(Vk)=5 D(Vk)=100/12 由独立同分布中心极限定理得 于是 P(V105)= 定理2(棣莫弗－拉普拉斯定理） 设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有 定理表明：若Yn～B(n, p), 则当n很大, Yn近似服从 N(np,np(1-p)). (二项分布的正态近似) 简证： 设Yn~B(n,p), 则Yn表示n重伯努利试验中的 “成功” 次数 . 若设 i=1,2，…，n 则 Yn= X1+X2+…+Xn 0 1 1-p Xi pk p X1, X2, …, Xn独立同分布 由独立同分布中心极限定理得 Yn近似服从 N(np,np(1-p)). 应用：若Yn～B(n, p), 求P(z1Ynz2)=? 1. 由二项分布直接计算 计算量大 2. 由泊松分布近似计算 其中 λ ＝np. 3. 由正态分布近似计算 n很大，p很小 n30, np10 例7 假设某保险公司里有1万人参加了人寿保险, 每人每年交12元保险费，若投保人在该年内死亡,公司付给家属1千元. 已知在一年内一个人死亡的概率为0.006, 试求 1.保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率. 2.保险公司在一