概率第二与讲 1.4-1.5 .pptVIP

首页 返回 退出 北京信息科技大学 统计系 首页 返回 退出 北京信息科技大学 统计系 第二讲 §1.4- §1.5 一、概率的古典定义 二、概率计算举例 三、概率公理化定义 称这种试验为古典概型. 古典概型定义 若随机试验满足下述两个条件： (1) 样本空间Ω只包含有限个样本点； (2) 每个样本点（基本事件）出现的可能性相同. 概率的古典定义 定义 则有 该式称为随机事件A的概率. 记作P（A） 概率的古典概型计算步骤 二、概率的计算举例 N D N-D 次品 正品 例 3一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只红球。 从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方 式： 放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放回袋 中， 搅匀后再取一球。 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二次从剩 余的球 中再取一球。 分别就上面两种方式求： 1）取到的两只都是白球的概率； 2）取到的两只球颜色相同的概率； 返回主目录 解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。 设 A= “ 取到的两只都是白球 ”， B= “ 取到的两只球颜色相同 ”, 有放回抽样: 无放回抽取: 例4 袋中有a个白球与b个黑球。每次从中取一个球，取出的球不再放回去。把球全部取出，求第k次取得白球的概率。 Ω：a+b个球看作不同的编号，依次排列在a+b个位置，有（a+b）！种放法； A：第k个位置放白球，有a中放法，另外（a+b-1）个位置，有（a+b-1）！种放法。 解法1：排列方法 Ω：同色球不区分，固定a个白球位置，其余必放黑球，白球位置固定有 种方法； 解法2：组合方法 A：第k位置必须放白球，固定一位置，固定另外a-1个白球位置，有 种方法。 解法3：针对性 只考虑第k次抽球，a+b个球中任何一个都有可能在第k次被抽到，故样本点总数为a+b；抽到白球只有a种可能。故所求概率为 Ω：对k次以后的情况不考虑，a+b个球中任取k个球的排列看作一个样本点，总数为 ； 解法4：缩小范围 A：第k次取白球，有a种取法，前面k-1次取球，从a+b-1个球中任取k-1个，总数为 。 A1 A2 A3 A4 A A 证明： B A B-A 如图，因为 A 重要 A B B-AB A B C 例 5 将 n 只球随机的放入 N (N ? n) 个盒子中去， 求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。 解： 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有 而每个盒子中至多放一只球, 共有 此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出： n p 20 23 30 40 50 64 100 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997 经计算可得下述结果： “在一个有64人的班级里，每人生日各不相同”的概率为 “所以，至少有两人生日相同”的概率为 1－p=99.7%。 例6 在 1~2000 的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概率是多少？ 解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”， B 为 “取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为： 为：6，12，18…1998 共 333 个， 所以能被 6 整除的整数 AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除” 于是所求的概率为： 其中 B ={8, 16, … 2000 }, AB = {24, 48 …1992 }， 例7 同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率： A={ 5 颗骰子不同点 }； B={ 5 颗骰子恰有 2 颗同点 }； C={ 5 颗骰子中有 2 颗同点，另外 3 颗同是另一个点数}． 例8 从 1～9 这 9 个数中有放回地取出 n 个数，试求取出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率． 解：A ={取出的 n 个数的乘积能被 10 整除}； B={ 取出的 n 个数至少有一个偶数 }； C ={取出的n 个数至少有一个 5 } ． 则 A=B∩C 例9 将 15 名新生随机地平均分配