高代竞赛辅导第4线性方程组.docVIP

四． 线性方程组 1.(北京大学2007) 把实数域R看成有理数域Q上的线性空间，.这里的p,q,r是互不相同的素数.判断向量组是否线性相关？说明理由. 解 不是线性相关的，而是线性无关的。理由如下： 反证法。假如线性相关，则存在一组不全为0的有理数 使得，这表明是有理数域Q上的 次多项式的一个根。另一方面又是次有理系数多项式的根，且由Eisenstein判别法知在有理数域上不可约 （取素数）。而一个不可约多项式与任何一个多项式之间： 要么与互素，要么整除。 这里取， ，显然不整除，另外与有公共根，因此与不互素，这样总有矛盾。所以线性无关。 1.（i）（北京航空航天大学2003）若向量线性无关，证明 也线性无关； （ii）（东南大学2002）判断对错：若向量线性无关，则 的秩为3； （iii）（清华大学2006）设是一组线性无关的向量，那么 是否线性无关？证明之。 （iv）（中国科学院2006；中山大学20004）若向量组线性无关， 讨论向量组的线性相关性。 解 令，整理得 。 由线性无关得，即 ， 其系数矩阵的行列式。 当为偶数时，，方程组有非零解，这时线性相关。 当为奇数时，，方程组只有零解，这时线性无关。 2.（中山大学，2003）设为四元非齐次线性方程组，矩阵的秩为3， 已知是它的三个解向量，且 试求 线性方程组的通解。 解 是的两个解，则也是的解，从而 是导出组的解。由的秩为3知，导出组的基础解系 由一个向量组成，于是线性方程组的通解为 ，其中为任意常数。 3.（东南大学2000；西安交通大学2005）讨论为何值时，以下方程组有 唯一解；无解；无穷多解，当有无穷多解时，求出其通解。 解 这是一类标准题型，这里仅举此一例。 增广矩阵，于是 当时，方程组有唯一的解； 当且时方程组无解； 当且时方程组有无穷多解。这时 增广矩阵，可得通解为 。 注意：化增广矩阵为阶梯型矩阵的办法特别适合方程个数与未知变元的个数不 相等的情形，当方程个数与未知变元的个数相等时还可以用行列式的方法。 4. （上海交通大学2005）下面的元线性方程组何时无解、有唯一解、有无穷 多解？有解时求出全部解。 。 解 。 假定，得。 显然，当且时，方程组有唯一解，解为 。 当时，若要有解，必须，此时 ， 即时，方程组有无穷多个解。 当时，若，则有，方程组无解。 当时，若，则，， 方程组有无穷多个解，。 5.（北京大学2005）设数域上的阶矩阵的元为。 （1）求。 （2）当时，，求齐次线性方程组的解空间的维数和一组基。 解 （1）注意到 当时，；当时，； 当时，。 （2）当时，有，于是有方程组仅有零解，则的解空间 的维数为零。 若，注意到的左上角的二阶顺序主子式为，于是。 又由于，所以，的解空间的维数为。 由，那么的解必然是的解。对矩阵作初等行变换得 ， 。 由于的解空间属于的解空间，且它们的维数相等，都为，所以 的基础解系即为的基础解系，于是的解空间的一组基为 ，，。（共个） 6.（北京大学2007）设都是的矩阵，线性方程组与同解， 则与的列向量组是否等价？行向量组是否等价？若等价，给出证明； 否则，举出反例。 解 若线性方程组与同解，则与的列向量组不一定等价。例如 对于以下两个矩阵 ，， 显然有与同解，但是与的列向量组不能互相线性表出，即它们 的列向量组不等价。但是与的行向量组等价。证明如下： 依题意，线性方程组与同解，所以. 记， 任取的一个基础解系(当然也是的基础解系)构成的矩阵C ，则，且，. 考虑齐次线性方程组，其解空间S的维数 dim(S) =n?r =r(A) . 因为，所以A的行向量都是的解，因此A的行空间是S 的一个子空间，即?S . 注意到，故=S . 同理可证，B的行空间=S .于是有=，这表明A与B的行向量组等价. 另一种非常简洁的证明方法是应用以下结论： ，。 与同解相当于，由上面结论得，这意味着 与的行向量组可以互相表出，即与的行向量组等价。 7.（北京大学2010，5(13分)）设A是n阶正定矩阵，向量组满足 。问：向量组的秩可能是多少，证明你的结论。 解 向量组的秩为，即是线性无关的。事实上，令 ， 两边乘以A, 得，两边再用做内积，得 ，。 写成线性方程组得 。 由得系数矩阵为下三角矩阵，且由A正定知主对角元全为正， 所以系数矩阵的行列式不为零，因此线性方程组只有唯一的零解，即 线性无关，从而的秩是。 (华东师范大学2006）如果是维欧