函数单调性教材.docVIP

知识体系： 增函数： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。 注意：(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； (2)必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) 函数的单调性： 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间： 判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2∈D，且x1x2； 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性） 课前演练 1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 A.y=－x+1 B.y= C.y=x2－4x+5 D.y= 2.函数y=loga（x2＋2x－3），当x=2时，y＞0，则此函数的单调递减区间是 A.（－∞，－3） B.（1，＋∞） C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞） 3.函数y=log|x－3|的单调递减区间是__________________. 典例解析 题型一：函数的单调性的定义 1、下列函数中，在区间上递增的是 （ ） （A） （B） （C） （D） 2、有下列几个命题：①函数y=2x2+x+1在（0，＋∞）上不是增函数； ②函数y=在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数； ③函数y=的单调区间是［－2，+∞）； ④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b）. 其中正确命题的序号是_____________ 解：①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上是增函数，∴①错；②虽然（－∞，－1）、（－1，＋∞）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，∴②错；③要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4x－x2≥0，解得－1≤x≤5，由于［－2，+∞）不是上述区间的子区间，∴③错；④∵f（x）在R上是增函数，且a＞－b，∴b＞－a，f（a）＞f（－b），f（b）＞f（－a），f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b），因此④是正确的. 3．(2010·京)给定函数，y＝log(x＋1)，y＝|x－1|，y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是(　　) A． B．C． D． 解易知y＝x在(0,1)递增，故排除A、D选项；又y＝log(x＋1)的图象是由y＝logx的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y＝logx相同为递减的，所以符合题意，故选B. 1、讨论函数f（x）=（a＞0）在x∈（－1，1）上的单调性. 解：设－1＜x1＜x2＜1， 则f（x1）－f（x2）=－ ==. ∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x1x2+1＞0，（x12－1）（x22－1）＞0.又a＞0，∴f（x1）－f（x2）＞0，函数f（x）在（－1，1）上为减函数. 2、论函数f（x）=（a≠）在（－2，+∞）上的单调性. 解：设x1、x2为区间（－2，+∞）上的任意两个值，且x1＜x2，则 f（x1）－f（x2）===. ∵x1∈（－2，+∞），x2∈（－2，+∞）且x1＜x2， ∴x2－x1＞0，x1+2＞0，x2+2＞0. ∴当1－2a＞0，即a＜时，f（x1）＞f（x2），该函数为减函数； 当1－2a＜0，即a＞时，f（x1）＜f（x2），该函数为增函数. 3、设函数f（x）＝（a＞b＞0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性. 解：函数f（x）＝的定义域为（－∞，－b）∪（－b，＋∞）， 任取x1、x2∈（－∞，－b）且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝. ∵a－b＞0，x2－x1＞0，（x1＋b）（x2＋b）＞0， ∴f（x1）－f（x2）＞0， 即f（x）在（－∞，－b）上是减函数. 同理可证f（x）在（－b，＋∞）上也是减函数. ∴函数f（x）=在（－∞，－b）与（－b，＋∞）上均为减函数. 点评：本小题主要考查了函数单调性的基本知识。对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。 4、求函数的单调区间. 剖析：