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函数的单调性奇偶性问题归类解析 一、函数的单调性 定义及其三种表述方法 证明或判定函数在给定区间上的单调性的方法与步骤 定义法 （2）图像法 求函数的单调区间的方法与步骤 函数单调性的应用 （1）．增（减）函数定义 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间 （睇清楚课本单调区间的概念） 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) ． （2） 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. （3）函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 任取x1，x2∈D，且x1x2； 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下： 函数 单调性 u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f[g(x)] 增 减 减 增 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 二、函数的奇偶性 定义及其三种表述方法 函数奇偶性的四种情况 证明或判定函数奇偶性的方法与步骤 方法： 定义法、图像法、分段函数的奇偶性 （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(－x)与f(x)的关系； 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 三、函数的图象与性质 1、函数的性质与其图像的特点对应 2、函数图像的初等变换 函数的性质与函数图象的特点 函数性质 定义 图像特点 函数的图象 一般为一条连续曲线,也可能是由若干条曲线或离散点组成. 定义域 M 自变量x的取值范围 图像左右存在的范围 值域N 函数值y的取值范围 图像上下存在的范围 奇 偶 性 奇函数 对任意的都有f(-x)=-f(x) 图像关于原点对称 偶函数 对任意的都有f(-x)=f(x) 图像关于y轴对称 单 调 性 增函数 （递增区间） 对任意的 当时，都有f()f() 在区间［a,b］内， 图像从左到右上升 减函数 （递减区间） 对任意的, 当时，都有f()f() 在区间［a,b］内， 图像从左到右下降 周期性 对任意的，如果有非零常数T,使得f(x+T)=f(x) 自变量增加T时，图像重复出现 零点 f(x)=0时x的值 图像与x轴的交点的横坐标 正值区间 f(x)0时x的取值范围 图像位于x轴上方时，x所在的区间 负值区间 f(x)0时x的取值范围 图像位于x轴下方时，x所在的区间 在y轴上的截距 f(0)的值 图像与y轴的交点