函数单调性的定义与应用.docVIP

函数的性质——单调性 【教学目的】 使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤； 【重点难点】 重点：函数的单调性的有关概念； 难点：证明或判断函数的单调性 一、增函数与减函数 ⒈ 增函数与减函数定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2. ⑴若当x1x2时，都有f(x1)(fx2),则说f(x)在这个区间上是增函数 ⑵若当x1x2时，都有f(x1)(fx2),则说f(x) 在这个区间上是减函数 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2，当x∈[0,+)时是增函数，当x∈(-,0)时是减函数. ⒉ 单调性与单调区间 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集； ⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在x1,x2那样的特定位置上，虽然使得f(x1)(fx2)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数； ⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x1)(fx2) 或f(x1)(fx2) ”改为“f(x1)(fx2) 或f(x1)(fx2)”即可； ⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. ⒊ 例题 例1 图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 练习：1、函数的增减性的正确说法是： A．单调减函数 B.在上是减函数,在上是减函数 C. 在是减函数,在是减函数 D.除点外,在上是单调递减函数 二次函数的单调性：对函数， 当时函数在对称轴的左侧单调减小，右侧单调增加； 当时函数在对称轴的左侧单调增加，右侧单调减小； 例：讨论函数在(-2,2)内的单调性。 二、函数单调性的证明步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1x2； ② 作差f(x1)－f(x2)； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 例1、证明函数在（1，+∞）上为减函数． 例2、证明函数在R上是单调减函数。 练习1 证明函数f(x)=1/x在(0,+)上是减函数. 练习2 试判断函数在上的单调性并加以证明。 例 已知函数f(x)＝ (a0)在(2，＋∞)上递增，求实数a的取值范围． 三、复合函数单调性 对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果u＝g(x)在区间(a，b)上具有单调性，当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且y＝f(u)在区间(m，n)上也具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)具有单调性的规律见下表： 例：函数的单调减区间是 （ ） A. B. C. D. 求函数单调区间（复合函数） 1.函数的单调区间是（ ） A．（-，+） B.（-，0） （1，，） C.（-，1） 、（1，） D. （-，1）（1，） 2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是(?? ). 　A．?? 　　B．????? C．　　D． 3．函数的增区间是（??）。 　A．[-3，-1] B．[-1,1] C．? D． 4、已知函数，判断在区间〔0，1〕和（1，+）上的单调性。 五、函数单调性的应用：判断函数的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。 例 （1）若函数在上单调递增，在上单调递减，求其实数的取值； （2）若函数在上单调递增，其实数的取值范围； （3）若函数在上单调递增，其实数的取值范围； 例 若函数在上单调递增，其实数的取值范围； 例 已知函数是上的减函数，求实数的取值范围； 练 习 判断函数的单调性 1.在区间上为增函数的是: A. B. C. D. 2.设是函数的反函数的一个单调增区间,则实数的取值范围是 A. B.