数学建模A题论文1.pdfVIP

单位代码 11660 单位名称 重庆理工大学 大学生数学建模 论文题目 地板的铺设方案设计与评价 学号 姓名 所属学院 联系电话 11104080232 曾奕 机械工程学院 11104020128 晏继斌 机械工程学院 11104020712 隆郑 机械工程学院 地板的铺设方案设计与评价 【摘要】 房屋地板砖的铺设是工程中遇到的将一种固定形状的材料铺设到某种物体 表面的问题中的一种典型实例，也是数学建模中的经典案例，但该案例中数学 建模更关心的是如何铺设更合理更经济，如何能浪费最少的原材料以提高地板 砖的利用率。 本文主要研究五种规格的地板砖在房间（分为七个区域，包含四种不同类 型（见图2）内的最节省铺设方案的问题，通过建立线性规划模型，利用Petri 网结构模型，运用分支定界法，先求出一种地板砖的铺设方案，选择最优后再 利用多目标规划得出了最佳铺设方案（模型Ⅲ中详解）。本文给出的数据如图1 所示，且其面积为131620000 mm2 ，首先以这些数据为基础，建立总成本模型 Ⅰ。再针对七个区域（包含四种不同类型）建立模型Ⅱ，利用Petri 网，对四 种不同类型区域分别建立线性规划模型，利用MATLAB 编程得到废料最少时五种 地板的块数以及费用最少时的地板块数，由于MATLAB 计算结果存在小数，因此 需要继续对结果运用分支定界法计算出五种地板在产生废料最少时的块数，以 此计算出此时五种地板的利用率和费用（见表2），然后联系实际，得到问题2 的答案：以总成本为最优目标，选择第一种地板（800*800），其总块数为240 块，利用率为85.69%，总成本为44454.24 元。 由模型Ⅱ得出的结论，通过逻辑推理和数据对比分析，建立模型Ⅲ，以第 一种地板（800*800）的铺设为前提，对模型Ⅱ进行一定修改和组合，由分区域 讨论得出最终结论如表三所示，且其整体利用率为95.77％。 本文所建立的模型简明易算，充分利用了线性规划模型、整数规划模型， 系统工程中Petri 网思想，将复杂的几何问题转化为抽象的代数问题，最终得 到的结论。 利用面积较大的地板铺设时价格便宜但利用率相对偏低，而面积相对较小 利用率更高，价格却相对更高。本文建立的模型具有良好的推广型，可以在本 文模型的基础上，加入地板缝隙、分割磨损，墙面厚度等对地板铺设影响的因 素，使本模型更接近实际情况。 关键词：地板；线性规划；分支定界法；MATLAB 数据拟合；Petri 网 §1 问题的重述 在工程中经常会遇到将一种固定形状的材料铺设到某种物体表面的问题。房 屋地板砖的铺设就是其中的一种典型实例。在地板砖的铺设问题中，需要考虑 地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面，目标是为了使成本 最小化，同时需要考虑整块地板砖的使用比例，即切割地板砖数尽量少，达到 美观效果。 设工程中能购买到的地板砖的尺寸、价格、安装费用、破损概率等参数如 表1 所示。需要铺设的房屋地面结构如图1 所示。假设每块地板砖只能沿着平 行于边的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工费跟切割长度成正 比。 1. 请综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，建立计算地板砖铺设总成本的 模型。 2. 若仅使用一种尺寸的地板砖进行铺设，请设计一种算法进行地板砖的自 动铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺 寸的地板砖铺设成本最低。 3. 若允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，又如何实现地板砖的自动 铺设，并计算铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。 4. 根据