数值分析上机作业详细分析.pdf

函数插值与曲线拟合 实验2.1 Runge 现象及如何避免 考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为 2i xi  1 ,i 0,1,2,, n n 则拉格朗日插值多项式为 n 1 L (x)  l (x) n i0 125x2 i j 其中的l (x),i 0,1,2,, n 是n 次拉格朗日插值基函数。 i （1）选择不断增大的分点数目n=2,3….，画出原函数f(x)及插值多项式函数 L (x) 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。 n （2 ）选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数 x h(x)  4 , g(x) arctan x 1 x 重复上述的实验，看其结果如何。 （3 ）区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 b a b a (2k 1)    xk  c o s ,k 1,2,,n 1   2 2  2(n 1)  以x , x ,x 为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果, 1 2 n1 并分析原因。 数值计算结果 （1）首先，对函数在[-1,1]上进行拉格朗日插值，算出各阶的插值函数，然后在区间上等距 地取100 个点计算插值结果和理论结果，然后做图和求二者之差绝对值的无穷范数。下图1 图2 给出了对龙格函数进行不同阶数等距插值的插值结果。下表1 为龙格函数不同阶数插值 时插值结果与理论值偏差的无穷范数。 表1 插值结果与理论值偏差的无穷范数 插值 2 3 4 5 6 10 20 40 阶数 无穷 0.9589 0.6459 0.7044 0.4382 0.4303 0.2979 8.1906 204374.9907 范数 图1 龙格函数不同阶等距插值结果 从图1 我们已经可以看到龙格现象，例如20 阶插值比10 阶插值得到的插值函数在插值区间 出现了更严重的震荡，它们偏离理论值得无穷范数分别为0.2979 和8.1906 。即随着插值点 的增多Ln(x)没有一致趋近f(x) ，而是在部分区间出现了严重的偏离被插值函数的震荡现象， 这就是龙格现象。 为了进一步观察龙格现象，下面图2、图3 和图4 分别显示了11~18 阶，33~40 阶和40~47 阶的等距插值结果。试图看看会出现什么结果。 图2 龙格函数不同阶等距插值结果 图3 龙格函数不同阶等距插值结果 图4 龙格不同阶等距插值结果 从图2 可以看明显地看到龙格现象，从11 阶、13 阶一直到17 阶奇数阶随着阶数的增大震 荡的峰值越来越大；同时，12 阶、14 阶一直到18 阶偶数阶随着阶数的增大震荡的峰值同样 也是越来越到。我们清楚地看到了龙格现象。 然而，随着阶数的大幅升高，图3 和图4 中插值函数的震荡现象变得不那么理想，变得 没什么规律，甚至看不出震荡现象，只是在左端发生了偏移。例如40 阶插值时只有左端发 生了向下的极大偏移，而且图像左右极不对称。然而，从理论上来讲，插值函数左右应该是 对称的。为什么会出现这种现象？此现象由什么引起？它对我们判断龙格现象又会产生什么 样的干扰？ 实际上，从40 阶到47 阶插值图像的变化情况我们已经不能判断是否有龙格现象了。