《每周一讲》第74讲 函数最大值问题讲解(苏港赵建老师).pdf

初中函数最值问题 苏港润数学赵建 解题思想之函数思想 函数是初中以及今后学习的重要内容，利用函数可以将两个或 两个以上的量联系起来进行分析，得到量与量之间的变化关系。 函数思想是一种重要的数学思想方法，指用函数的概念和性质 去分析问题，转化问题和解决问题。因此，函数思想的实质是 用联系和变化的观点提出研究对象，抽象其数量特征，建立函 数关系。 题型1核心思想：相似思想转换，函数求值 例1.如图，△ABC 内接于⊙ O，AD为边BC上的高． (1)若AB＋AC ＝10，AD＝4 ，求圆O的直径AE的长的最大值，并指出此时边AB的 长． 例2.如图，直线l与半径为4 的⊙ O相切于点A ，P是⊙ O上的一个动点 （不与点A 重合），过点P作PB ⊥l，垂足为B，连接PA ．设PA=x ，PB=y ，求 （x ﹣y ）的最 大值 例3.如图，已知半径为2的圆O与直线l相切于点A ，点P是直径AB左侧半 圆上的 动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙ O交于点D，连接PA 、PB，设PC 的长为x(2x4)． ⑴当x=3时，求弦PA 、PB的长度； (2)当x为何值时PD·CD的值最大？最大值是多少？ 创新题：1. （原创题）如图，以O为圆心，直径AB为4 的半圆，点P是半圆上的一个 动点，过P点作PQAB于点Q，连接AP，设AP=x ，BQ=y ，则x+y 的最大值是 2. （原创题）如图，圆O的直径为2，AB是圆O的弦，点P是圆上一个动点 （点P不与 A 、B重合），过P点作PQAB于点Q，连接AP、BP，点P在运动的过程中使PA+PB=4 ， 设PA=x ，PQ=y ，则x+y 的最大值是 3. （改编题）如图，圆O的半径为1，弦AB的长与圆O的半径相等，连接OA 、OB， 点P、Q是直线AB上的两个动点，运动过程中始终保持 ， P OQ 120 设PA=x ，BQ=y ，则 例4.如图，⊙ O的半径长为5，OC垂直弦AB于点C，OC的延长线交⊙ O于点E，与过 点B的⊙ O的切线交于点F，已知CE＝x ． (l)若x ＝2，求AB、BF的长； (2)求EF×CO2的最大值． 例5.如图，点O在边长为8 的正方形ABCD的AD边上运动(4C)A8)，以O为圆心， OA长为半径作圆，交CD于点E，连接OE、AE，过点E作直线EF交BC于点F，且 ∠CEF＝2∠DAE．(1)求证：直线EF为⊙ O的切线； (2)在点O的运动过程中，设DE＝x ，解决下列问题 ①求OD．CF的最大值，并求此时半径的长 例6.已知四边形ABCD是边长为4 的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆， P是半圆上动点 （不与点A 、B重合），连接PA 、PB、PC、PD． 如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐 标系 （点A 即为原点O ），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、 S3 ．坐标为P （a，b），试求2 S1 S3 －S22的最大值，并求出此时a，b的值． 题型二：线段最值问题，折线最值问题 例1：如图，已知二次函数y ＝x2－3x －4 的图象交x轴于A 、B两点． (1)若点P在线段AB上运动，作PQ ⊥x轴，交抛物线于点 Q，求PQ的最大值： (2) 已知点D(5，6)在抛物线上，若点M在线段AD上运动， 作MN ⊥x轴，交抛物线于点N，求MN的最大值． 例2：如图1，抛物线y ＝－x2＋bx ＋c的顶点为Q，与x轴交于A （－1，0 ）、B(5，0)两点， 与y轴交于点C ．若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE ⊥x轴，垂足为E． ①有一个同学说： “在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与x轴相距最远， 所以当点D