线性代数讲义(二版).docVIP

概述 数学与其它领域的关系 数学与生活 数学与科研 数学与工程 数学与社会 数学的分类 数学分析：初等数学→高等数学→实变函数 代数：初等代数→高等代数（线性代数）→抽象代数（近世代数） 几何：初等几何→ 离散数学 数值分析 组合数学 …… 代数学的研究对象 初等代数 高等代数（线性代数） 抽象代数（近世代数） 线性代数的应用 基础学科：数学、物理 工业：钢铁、化工、机械 信息：通信、电子、计算机、密码学 经济： 社会科学： 课程内容 序号 内 容 详 细 内 容 备注 1 行列式 定义、性质、计算、应用（解方程组） 第2章 2 线性（代数）方程组 定义、求解（消元法）、有解的判断 第3章 解的结构 第4章 3 矩阵 概念、秩 第1章 运算、逆矩阵、分块、特殊矩阵 第1章 特征值与特征向量、相似矩阵、标准形 第5章 4 向量空间 向量、相关性、秩、向量空间、欧氏空间 第4章 5 二次型 表示方式、标准形、正定二次型 第6章 6 MATLAB 语言，应用 第8章 7 线性空间 线性空间概念、性质、基、维数、坐标、子空间 第7章 8 线性变换 概念、表示方式、特征值、特征向量 第7章 与其它课程的联系与分工 是“离散数学”、“数值分析”、“信号与系统”等专业课的基础。 教材与参考资料 教材： 参考： 要求 学习方法：不同课程的方法有异 纪律： 矩阵 问题 自然科学中的问题可用矩阵描述； 用矩阵表示的问题可直接用矩阵求解。 内容 内容：矩阵及矩阵的运算； 逆矩阵； 矩阵分块法。 基本要求 理解矩阵概念，了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵的性质； 熟练掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律； 理解逆矩阵的概念，熟练掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法； 会分块矩阵及其运算。 熟练掌握矩阵的初等变换。 了解初等矩阵的概念及初等矩阵与初等变换的关系。 熟练掌握用矩阵的初等行变换化矩阵为行最简形。 重点和难点 重点：矩阵与矩阵的乘法、逆矩阵存在的条件及其求法；，用矩阵的初等行变换化矩阵为行最简形求解方程组的方法 难点：逆矩阵的求法。 矩阵的概念 矩阵的概念 实例 【例1.1.1】三个人A、B、C，三项工作Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，第i人从事第j项工作，产生价值 Ⅰ Ⅱ Ⅲ A 25 15 22 B 31 20 19 C 35 24 17 或——描述三人从事各项工作所产生的价值，也揭示了价值随个人变化的情况 【例1.1.2】线性方程组，未知数的系数按原顺序构成矩形表格（3行4列） 未知数系数和常数项也可构成一个矩形表格（3行5列） 该表格决定着给定的方程组是否有解、有多少解、解是什么 【例3】通信网络联系信息：＝1——点与有通信联系；＝0——无通信联系 其它应用：学生成绩登记表、产量统计表等. 【例】（补）平面上的点可表为行向量或列向量。 定义 【定义1】由m×n个数排成一个m行n列的矩形数表，称为m×n矩阵或m行n列矩阵，简称矩阵。横排称为矩阵的行，纵排称为矩阵的列。称为矩阵的第i行第j列元（或元素），或(i, j)元。记为A, B, …等（或…，或A＝或）。 矩阵的行、列—— 矩阵的元（或称元素）—— 特殊矩阵 实矩阵——元素都为实数的矩阵。 复矩阵——元素都为复数的矩阵。 零矩阵——元素全为零的矩阵，记为或0。 列矩阵——只有一列的矩阵称为列矩阵（或列向量）。 行矩阵——只有一行的矩阵称为行矩阵（或行向量）。也记作A＝。 向量的其它表示：向量可用小写字母a，b，…，…表示（用粗体）。 一阶矩阵——即m＝n＝1，记为（a）或a，后边一阶矩阵和一个数不加区别。 其它概念 方阵——当行数等于列数（m＝n）时，称为n阶矩阵或n阶方阵。 对角线——设A为方阵，则从左上角到右下角的对角线称为A的主对角线；从右上角到左下角的对角线称为A的次对角线（或副对角线）。 主对角线元——主对角线相应的元素称为主对角线元。 几种特殊矩阵 三角矩阵 上三角矩阵和下三角矩阵：称主对角线以下的元素全为零的方阵为上三角矩阵，主对角线以上的元素全为零的方阵为下三角矩阵。二者统称三角矩阵。 对角矩阵 主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵，记为或。对角矩阵中未写出的元素表示零元素。对角阵也可表示为或。 单位矩阵 单位阵：主对角线上全为1的n阶对角矩阵称为n阶单位阵，记作、或E、I。 矩阵的关系 同型矩阵：指行数与列数分别相等的两个矩阵。 矩阵的相等：设矩阵A＝与B＝同型且对应元素相等，则称A与B相等，记作A＝B。即 A＝B，i＝1, 2, …, m；j＝1 ,2, …, n 说明：矩阵相等的要素：①二者同型；②对应元素相等。 线性变换 实际问题要求将一些变量用另外一些变量线性表示，如 （1.1） 称此关系式