五相似矩阵及二次型.docVIP

第五章 相似矩阵及二次型 相似矩阵是矩阵理论中重要的内容之一, 矩阵的特征值和特征向量反映了矩阵最本质的特性, 在数学的分支学科和信息科学中有着广泛的应用. 本章中通过对矩阵进行相似变换化二次型为标准型就是相似矩阵的成功应用. 主要内容 1. 向量的内积. 2. 矩阵的特征值和特征向量. 3. 二次型. 重点内容 通过相似变换化矩阵为对角矩阵、化二次型为标准型. 第一节 向量的内积、长度及正交性 一、内积 定义1 设有维向量 , , 令, 数称为向量与的内积. 内积的性质： 1) 2) ; 3) ; 4) 当时, ; 当时, 5) 施瓦兹(Schwarz)不等式: (令即证) . 二、向量的长度 定义2 令, 则称为向量的长度(或范数). 范数的性质: 1) 非负性: 当时, ; 当时, 2) 齐次性: 3) 三角不等式: 说明 1) 单位向量: 当时, 称为单位向量. 当时, 令 , 因为, 所以为单位化向量. 2) 由施瓦兹(Schwarz)不等式, 即, 当时, 由上式得 于是可定义两个向量的夹角为 (, ). 三、正交 定义3 若, 则称向量与向量正交. 设都是非向量组, 如果向量组中的向量两两正交, 则称为正交向量组. 显然, 若, 则与任何向量都正交定理1 若是一个非正交向量组, 则线性无关. 证 设有, 使得 , 上式两边用作内积, 得 (), 即. 因为, , 所以, . 注记 1) 定理1的逆定理不成立, 即线性无关的向量组不一定是正交的. 2) 若用正交向量组作为向量空间的基, 则该基称为向量空间的正交基. 若用单位的正交向量组作为向量空间的基, 则该基称为向量空间的标准正交基(并称规范正交基). 3) 设是向量空间的一个标准正交基, 则对中任一向量, 有 , 为求其中的系数() 可用对上式作内积, 有 因为, 从而. 四、施密特(schimidt)正交化方法 往往求向量空间的一个标准正交基是比较困难的, 但是求的一个基是比较容易下面介绍如何把一个线性无关的向量组改造为一个单位的正交向量组的方法, 即施密特(schimidt)正交化过程. 设为线性无关向量组, 先正交化. 令; , 为待定常数. 为使正交, 有 , 所以, 从而. 同样, 令, 为待定常数, 要求,, 由此求得 , , 从而. 类似的, 最后得 . 单位化, 可得向量空间的一组标准正交基 , , … , . 说明 容易证明向量组与单位向量组是等价的. 例1 已知中两个向量 , 正交, 试求一非向量, 使两两正交. 解 设 , 由, 得, 对增广矩阵进行初等变换 , 由此得 令, 得 . 例2 设是秩为的阶矩阵, 向量组 , , 是方程组的解向量, 求的解空间的一个标准正交基. 解 因为, 是4元齐次方程组, 所以的解空间是维的. 易知与线性无关, 可取,作为解空间的基. 令 ; , 再单位化, 得 ; . 则就是所求的一个标准正交基. 四、正交矩阵 定义4 若阶方阵满足, 则称为正交矩阵. 正交矩阵的性质： 1) 由, 得, 所以; 2) 正交矩阵必可逆, 从而由, 推得; 3) 若,都是正交阵, 则也是正交阵 4) 令, 则由得 . 从而有 由此得重要结论: 方阵为正交矩阵的充要条件是的列向量组是单位的正交向量组. 说明 考虑到与等价, 所以上述结论对的行向量组也成立. 例3 设对称方阵满足. 试证为正交矩阵. 证 因为 , 所以为正交矩阵. 定义5 若为正交矩阵, 则线性变换称为正交变换. 注记 设为正交变换, 则有 . 上式表明: 用正交变换可保持向量长度不变. 第二节 方阵的特征值与特征向量 工程技术中的一些问题, 如振动问题和稳定性问题, 常归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题, 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题, 也都要用到特征值的理论. 一、特征值与特征向量的概念 定义6 设为阶方阵, 如果数和维非零列向量, 满足 (1) 则数称为的特征值, 非零向量称为的与特征值对应的特征向量. 说明 1) 矩阵的特征向量一定非零的; 2) 与对应的特征向量不是唯一的; 3) 与的不同特征值所对应的特征向量绝不会相同, 就是说, 特征向量只能从属于一个特征值. 二、特征值与特征向量