导数不等式综合题选.docVIP

导数、函数、不等式压轴题选 1. （2011湖北理21.本小题满分14分） （Ⅰ）已知函数，求函数的最大值； （Ⅱ）设均为正数，证明： （1）若,则； （2）若，则 2.(2012湖北理22) （I）已知函数，其中为有理数，且,求的最小值； （II）试用（I）的结果证明如下命题： 设,为正有理数，若，则; （III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当α为正有理数时，有求导公式 3. (2013湖北，理22)(本小题满分14分)设n是正整数，r为正有理数． (1)求函数f(x)＝(1＋x)r＋1－(r＋1)x－1(x＞－1)的最小值； (2)证明：； (3)设xR，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，. 令，求[S]的值． (参考数据：,,,) 。 （1）求证:; (2)若求证：； (3）若求证：，并推广到一般性结论。 5.已知函数的定义域为，其中实数满足.直线是的图像在处的切线. (1)求的方程：； (2)若恒成立，试确定的取值范围； (3)若，求证： 6.（2013武汉5月模拟考试）已知 （1）求的最小值； （2）若，求证：； （3）若均为正数，求证： 7. （2013武昌区5月模拟考试）设函数（Ⅰ）求函数的最小值； （Ⅱ）设且证明； （Ⅲ）设，，且如果，证明：设． （1）若，求最大值; （2）已知正数，满足．求证：； （3）已知，正数满足．证明: ．(I)已知函数，求的最大值； (II)证明：，其中，且, ; (III). 其中,且 。 10.(I)已知函数，求的最小值； (II)证明：，其中； (III)证明其中，， 11.（2013湖北七市联考） 已知函数 (I)求函数的单调区间； (Ⅱ)当时，函数恒成立，求实数的取值范围； (Ⅲ)设正实数满足 求证： 12.（2013湖北八校联考） 已知函数，且在处的切线方程为 （1）求的解析式； （2）证明：当时，恒有； （3）证明：若，且，则 13.（本小题满分14分） 已知函数，，其中表示函数在处的导数，为正常数． （1）求的单调区间； （2）对任意的正实数，且，证明： ； （3）对任意的，且，证明：． 14.（2013武汉供题训练2）. (I)当时,求函数的最小值； (II)证明:对+,都有; (III)若，证明：. 15.（本小题满分14分）已知函数 (Ⅰ)设，求函数的图像在处的切线方程：(Ⅱ)求证：对任意的恒成立； (Ⅲ)若，且，求证： 1题: 1题。解：（I）的定义域为，令 当在（0，1）内是增函数； 当时，内是减函数； 故函数处取得最大值 （II）（1）由（I）知，当时， 有，从而有， 得，求和得 即,. （2）①先证. 令则于是由（1）得，即 ②再证.记, 则， 于是由（1） 即,. 综合①②，（2）得证。 2题：解：（1），令，解得 当时，，所以在内是减函数； 当时，，所以在内是增函数； 故函数在处取得最小值。 （2）由（1）知，当时，有，即 ① 若中有一个为0，则成立； 若均不为0，又，可得，于是在①中令 ，可得，即， 。② 综上对,为正有理数，若，总有成立。 (3)(2)中命题的推广形式为： 设为非负实数，为正有理数。 若，则 ③ 用数学归纳法证明如下： （1）当时，，有，③成立。 （2）假设当时，③成立，即为非负实数，为正有理数。若，则 当时，已知为非负实数，为正有理数。若，此时，即，于是 则 因为，所以，由归纳假设可得 ， 从而 又由于，由②得 故当时，命题③成立。 由（1），（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立。 3题：(1)解：因为f′(x)＝(r＋1)(1＋x)r－(r＋1)＝(r＋1)[(1＋x)r－1]，令f′(x)＝0，解得x＝0. 当－1＜x＜0时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,0)内是减函数； 当x＞0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数． 故函数f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝0. (2)证明：由(1)，当x(－1，＋∞)时，有f(x)≥f(0)＝0，即 (1＋x)r＋1≥1＋(r＋1)x，且等号当且仅当x＝0时成立， 故当x＞－1且x≠0时，有 (1＋x)r＋1＞1＋(r＋1)x. 在中，令(这时x＞－1且x≠0)，得. 上式两边同乘nr＋1，得(n＋1)r＋1＞nr＋1＋nr(r＋1)，即 . 当n＞1时，在中令(这时x＞－1且x≠0)，类似可得 . 且当n＝1时，也成立． 综合，得 . (3)解：在中，令，n分别取值81,82,83，…，125，得 ， ， ， …… ． 将以上各式相加，并整理得 ． 代入数据计算，可得，. 由[S]的定义，得[S]＝211. 等价于，即， 令，