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自主学习01 教材内容 笫十章 电磁场中的带电粒子 知识框架 重点难点 第一节 第二节 第三节 第四节 本章习题 本章自测 知识框架 [] 掌握电磁场中电子的薛定谔方程, 并能就应用于解释一些基本的实验现象如量子霍尔效应、阿哈罗诺夫—玻姆（AB）效应、超导现象等。 [重点难点] 掌握电磁场中电子的薛定谔方程,电磁场的规范不变性。 10.1带电粒子与电磁场的耦合 [本节要求] 本节使学生掌握带电粒子在电磁场中的薛定谔方程，并讨论了两类动量的关系。 [重点难点] ???? 明确理解带电粒子在电磁场中的薛定谔方程，在规范变化下，定域几率守恒，几率流密度守恒的不变性。 [本节内容] 考虑质量为m,荷电q的粒子在电磁场中的运动.在经典力学中,其拉格朗日（Lagrangian）量为 ??????????????????????? (1) 把式(1)代入拉氏方程 ?????????????????????????? (2) 　 ?????????????????????????? (3) 　 和磁感应强度为 ????????????????????? (4) 　 ?????????????????????????? (5) 　 ??????????? (6) 　 不同于机械动量,二者之间的关系为.有了哈密顿量后,可把力学运动方程表为正则方程 　 反过来,由此正则方程(7), 也可得牛顿方程(3). 按照量子力学的正则量子化程序,把正则动量换成算符,即 　 　 　 　 ????????? (10) 　 　 与不对易,这是因为对任态波函数,有 　 　 ????????????????????????? (11) 　 　 与交换次序. 方程(10) 中出现项, 而不是或,因为前者是所谓的Wely顺序, 它是厄米的, 而后者是非厄米的. 　 电磁场的规范不变性是指,如,作下列规范变换 ??????????????????????? (12) 　 　 和磁感应强度都不改变.在这种规范变换下经典牛顿方程中只出现和,因而其规范不变性是显然的.下面可证,尽管在薛定谔方程中出现和,但仍然具有规范不变性. 假设用表示和势的哈密顿算符,则相应的薛定谔方程成为 ?????????????????????????? (13) 若与只相差一个相因子,则规范变换并不改变物理量,因为在物理量的计算中,只有形如的积分或者矩阵元出现,位相因子相消,并不在其中出现.可以证明,设定 ????????????????????????? (14) 并将其代入的薛定谔方程,可以得出的薛定谔方程.换言之,即使规范变换之后,的薛定谔方程的解仍然描述同样的物理状态,与只相差一个唯一的相因子,而物理观察量不受此相因子的影响. 　 ,而是真正的运动动量才是可测量的量.这是因为的平均值不是规范不变的,而的平均值才是规范不变的.因此,在电磁场存在时,是将正则动量换成算符，而不是换真正的动量，这是确保规范不变性的唯一作法. 2. 定域的几率守恒与流密度 取式(10) 的复共扼, 注意,为实函数, 而,得 ?????? (15) 　 　 　 　 　 　 ???????????????????????????? (16) 式中 　 令 　 式(17) 中可进一步化为 　 　 　 　 可理解为粒子的速度算符, 而为几率流密度. ? [思考题] 1. 证明在规范变换下,正则动量算符不变, 但其平均值随规范而异, 而机械动量算符正好相反. 2. 证明在规范变换下,几率密度和几率流密度 　 　 　 　 即;(b) 　 ,且 　 10.2朗道能级与量子霍尔效应 [本节要求] ??? 本节使学生掌握电子在均匀磁场作用下运动的规律，导体或半导体产生霍尔效应及量子霍尔效应的概况。 [重点难点] ?? ?了解朗道能级的引入和朗道能级简并度的讨论。 [本节内容] 10.2.1. 电子在均匀磁场中的运动—朗道能级 考虑质量、荷电-e的电子在垂直于均匀磁场的平面内运动.选择z轴沿均匀磁场方向,即.显然,由不能唯一地决定矢量势.对目前的计算,很方便的一种可能的表示为 ????????????????????? (1) 荷电粒子的哈密顿算符为 ????????????? (2) 式中 ?????????????????? (3) 称为拉莫尔频率,的线性项表示电子的轨道磁矩与外磁场的作用,而项为反磁项.由于粒子沿z轴方向自由运动, 因此采用柱坐标系,的本征方程为 ????????? (4) 式中是二维拉普拉斯算符 ??????????????????? (5) 粒子的能量本征态可取为守恒量完全集的共同本征态,即 ,???????????????? (6) 代入方程