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刘炳初等 《泛函分析》第二版课后习题答案 习题二 1.设是赋范空间. 对于令 证明：是上的距离但不是由范数诱导的距离. 证明：显然满足距离公理1)、2). 若，显然有； 若，则当时， ； 当时，； 当时，； 因此，满足距离公理3). 但显然不满足，因此不是由范数诱导的距离. 2.在中，按坐标定义线性运算且对定义，证明是一个赋范空间. 证明：显然这是一个范数. 3.设是空间中除有穷个坐标之外为0的元之全体构成的子空间. 证明不是闭子空间. 证明：令，则显然我们有，且，但，因此不是得闭子空间. 4.试举例说明，在赋范空间中，由，一般地不能推出收敛. 例： 5. 设是赋范空间，是中的稠密子集，证明：对于每一,存在，使得，并且. 证明：取，使得，则；，可取，使得，则；同理可取，使得，则；继续此法，可得，使得，且，由此知，并且. 6. 设是赋范空间，，证明：是Banach空间，当且仅当，中的单位球面是完备的. 证明：必要性是显然的(为中闭集)，下证充分性. 若是完备的，设为中的Cauchy列，由于，从而存在，不妨设. 若，则显然.若，不妨设，则，因为 也即为中的Cauchy列，由的完备性，存在，不妨设，从而有，故 ，即收敛，从而证得是Banach空间. 7. 证明是可分的Banach空间. 证明：分以下三步来证明： 1). 证明是的线性子空间. 事实上收敛列必有界，从而显然，且设，则 ，由于，从而我们有，即是的线性子空间. 2). 证明是的闭子空间. 事实上，设 ，并且，因此，，使得当时，. 由于 ，又因，，故存在，使得当时恒有，从而，，即，由此知是的闭子空间. 3). 由于为Banach空间，而是的闭子空间，从而是Banach空间，下证是可分的. 设为一切有限有理数列全体，即全为有理数，且存在，使得当时，. 显然，可知可数. ，由于，故存在，使得当时，. 对，存在，使得，从而存在，使得，即在中稠密. 综上可知是可分的Banach空间. 8. 设是一列赋范空间，且满足条件，用表示所有的全体，按坐标定义线性运算构成的线性空间，在中定义，证明是一个赋范空间. 证明：只需证明是一个范数即可. 事实上，显然，且，即，从而有，又是赋范空间，故，从而可得，即证明了范数公理的条件1)成立，而条件2)显然成立，下证条件3)成立. 设，由离散情形的Minkowski不等式，我们有,从而证得是一个范数，从而是一个赋范空间. 9. 证明：1) 离散情形的H?lder不等式与Minkowski不等式；2) 是可分的Banach空间. 证明：1). 首先证明离散情形的H?lder不等式，即证明下列不等式成立： ，其中. 令，由不等式可得 从而有，所以. 由离散情形的H?lder不等式，我们可以推导相应的Minkowski不等式： 事实上，由H?lder不等式，我们得到 由此即可得到. 2). 首先，由于为中全体有理点集，它是中稠密的可数集，因此是可分空间. 令，易知为的可数子集，下证. 事实上，设存在，使得，从而有，使得 ， 因此，即是可分的Banach空间. 10. 证明任意线性空间中存在Hamel基. 证明：设是线性空间中的线性无关集，令集合为包含的所有线性无关集全体，在上定义偏序关系为,显然的全序子集都有上界(所有集合的并集)，由Zorn引理，有极大元，不妨设为,下证即为的Hamel基，如若不然，则存在，但，即与中任何元素都线性无关，从而，这与的极大性矛盾. 11. 设是线性空间中的子集. 证明： 证明：若令表示上式右端，则而且是凸集，从而. 反之，设是包含的任一凸集，那么，从而，即得，从而. 12. 设是直线上的Lebesgue可测集，且，用表示的范数，表示的范数. 证明：对于每一，. 证明：设或，： i). 根据本性上确界的可达性，即存在使得，所以. 因为当，即； ii). 对任意的，令，由上确界定义易知，从而，令，则，由的任意性，知.从而. 13. 设，是赋范空间，在乘积线性空间中定义 ，其中.证明，是上的等价范数. 证明：显然，从而它们是等价范数. 14．设是区间上所有连续函数全体按通常方式定义线性运算所成的线性空间，对于定义.证明：和是上两个不等价的范数. 证明：显然和是上的两个范数，且，要证两个范数不等价，则只需证明不存在，使得，即证明存在，使得.令 则. 15. 设Banach空间具有Schauder基，用表示所有使得在中收敛的数列的全体，按通常方式定义线性运算构成的线性空间，对于每一，定义，证明是Banach空间. 证明：首先易知是范数.设是Cauchy列， 16. 设是赋范空间，是的子空间，对于，令.如果存在，使得，称是的最佳逼近. 1) 证明：如果是的有穷维子空间，则对每一，存在最佳逼近. 2) 试举例说明，