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初一数学寒假专题——分情况讨论 【本讲教育信息】 一. 教学内容： ??? 寒假专题——分情况讨论 ? 二、教学要求 1、巩固有理数的几种分类方法，加法及乘法法则，深入理解相反数、乘方、绝对值的概念，知道几何图形的分类及角的分类方法； 2、树立分类意识，能够从问题环境中抓住分类的对象，并能根据对象的特点找出科学合理的分类标准； 3、能够在实际背景中理解各数量关系及变化规律，合理分情况讨论；发展应用数学知识解决问题的意识和能力，进一步加深对相关数学知识的理解；认识数学知识之间的联系。 ? 三、重点、难点 重点： 1、巩固基本概念与法则； 2、从问题情景中抓住分类的对象并找出正确的分类标准； 3、能够逐类讨论并概括归纳。 难点： 1、确定分类对象及标准 2、正确、全面地讨论、归纳 ? 四、课堂教学 （一）知识要点 1、基本概念的讨论 在本学期的学习中，我们接触了许多的新概念及概念之间的关系，如整式分为单项式与多项式、等式分为方程、恒等式与矛盾式，几何图形分为平面图形与立体图形，角按角度分为零角、锐角、直角、钝角、平角、优角、周角。以上这些都是对一个较大的概念按一定的标准进行分类，而我们往往通过对其中每一小类的讨论，掌握其性质，从而对大概念这一整体进行把握。我们所接触的事物往往不是单一的，一成不变的，因此需要我们能够分清它的不同情况，逐一讨论，通过概括总结解决问题。 （1）有理数的分类 有理数按不同的目的标准有不同的分类方法，我们常见的两种是： 注意：确定统一的分类标准，按照标准分类要做到既不重复又不遗漏。我们对有理数的相反数、绝对值及倒数的讨论往往建立在有理数分类的基础上。 （2）相反数、绝对值、倒数 （A）相反数 数的相反数表示为，不一定是负数。对于的符号的确定需要分类讨论。 ? （B）绝对值 数的绝对值表示为，对于的化简要有具体分类讨论的思想，把可能出现的情况都想到，做到解题准确。一般是对绝对值里面的式子按正数、负数、0进行分类，确定为哪一类，再根据其性质讨论。 ? 如： ? ? （C）倒数 数的倒数表示为，与的符号相同，即? 对于一个数的倒数大小的讨论有四种情况： ①时， ②时， ③时， ④时， 2、加法与乘法的法则 加法法则：（1）同号的两个数相加，符号不变，并把两个加数的绝对值相加。（2）异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数和为0。（3）0和任何一个有理数相加，仍得这个有理数。 乘法法则：同号两个数相乘得正，异号两个数相乘得负，并把绝对值相乘，任何有理数和0相乘都得0。 加法与乘法法则都要对进行运算的两个数分类讨论，对每类的运算结果进行规定，进行计算时首先要确定进行运算的两个数属于哪一类，特别地，除法与减法可以转化为乘法和加法进行。 在－2、3、4、－5这四个数中求任何两个数相乘，所得的积中最大的。 共有－2×3、－2×4、－2×（－5）、3×4、3×（－5）、4×（－5）六种情况，积最大的值为正数，因此必为同号相乘，只有－2×（－5）、3×4两种情况，可知最大的积是3×4＝12。 通过分析几种情况利用法则可准确判断结果，而不出现漏掉最大值的现象。 3、比较大小 对于一些没有具体数值而比较大小的问题，需要分情况讨论其结果。如与比较， ①时， ②时， ③时， ，则与比较。、都有三种情况：正数、0、负数，分别讨论。 ①时有三种可能，，此时 ②时有三种可能，，此时 ③时不可能，因为最小的绝对值为0。 综合 ，当时，；当时。 4、 有两种情况， ?? 如化简 ?? 。 为偶数，为奇数，如 另外，由于为正偶数时， 则可知，互为相反数的偶数次幂相等，则偶数次幂为一个正数的数有两个，如，则。由乘法法则可知，任何数的偶次幂都为正数。 5、应用题 在现实生活中存在一些问题需要分不同情况讨论，总结结论。 如某出租车收费标准是4千米以内为10元，超过4千米不足20千米时，每千米1.2元；超过20千米后，每千米1.8元。甲乘坐出租车走了千米，则应付多少车费？ 其中没有给出在哪一范围内。这段路有三种情况。因此，要对分情况讨论。分、和三种情况讨论。 ①时，收费10元；②在4－20千米时，收费（10＋1.2×（－4））元；③时，收费［（10＋1.2×16＋1.8×（－20））］元。 6、几何方面 在几何中分情况讨论的问题也相当普遍，同学们往往看不到分类的必要性。 如过平面上三点，两两画一条直线，可有几条直线。 分两种情况：三点在一条直线上，则可画一条直线；三点不在一条直线上，则可以画三条直线。 一个钝角减去一个锐角是什么角，有三种情况。 ①钝角，如170°－20°＝150° ②直角，100°－10°＝90° ③锐角，120°－60°＝60° ? 【典型例题】 例1：在直线AB上取点C，