初一数学寒假专题——初一数学中常见的思想方法.docVIP

初一数学寒假专题——初一数学中常见的思想方法 【本讲教育信息】 一、教学内容： 寒假专题——初一数学中常见的思想方法一 1. 数形结合思想. 2. 整体思想. ? 二、知识要点： 1. 数形结合思想 数形结合思想是通过构建数与形之间的对应关系，在二者的对应和互助中，来分析研究问题并解决问题的一种思想. 常见的数形结合的途径有三种：以形助数、以数助形和数形互助. 数轴是数与形结合的桥梁，数与形结合的工具，具有多方面的功能. （1）利用数轴能形象地表示有理数，使抽象的数变得具体. 例如有理数的分类，在数轴上，原点右边的是正数，原点左边的是负数，原点是表示0的点，它是正、负数的分界点. （2）利用数轴能直观地解释相反数，能从运动变化的观点说明互为相反数的点，具有关于原点对称的特征. （3）利用数轴理解︱a－b︱的意义，绝对值的定义是从几何角度给出的，即︱a︱是表示数a的点到原点的距离，而原点所对应的数为0，故︱a︱也写成︱a－0︱的形式，它反映了数轴上两点间的距离. 这样自然会想到数轴上任意两点的距离如何表示呢？如图所示，数a、b分别对应点A、B，从数轴的定义，我们知道线段OB、OA的数值分别等于b、a，即OB＝b，OA＝a. 从BA＝OA－OB＝a－b，知B点到A点的距离为︱a－b︱. （4）利用数轴上的点的有序性，可以把复杂的数量关系表示得简明、形象、便于观察解答. 例如，在比较有理数大小的时候，可以把有理数在数轴上表示出来，依据数轴上右边的数总比左边的数大进行比较. 2. 整体思想 在研究问题时不是以某个或某些组成部分为着眼点，而是有意识地放大考虑问题的视角，将要解决的问题看成一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理后，达到顺利而又简洁地解决问题的目的. ? 【典型例题】 例1. （1）数轴上的点A表示数2，将点A向左平移5个单位长度得点B，则点B表示的数是__________. （2）（湖南怀化）2008年8月第29届奥运会将在北京开幕，5个城市的国标标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（?? ） A. 伦敦时间2008年8月8日11时 B. 巴黎时间2008年8月8日13时 C. 纽约时间2008年8月8日5时 D. 汉城时间2008年8月8日19时 分析：（1）表示数2的点A向左平移2个单位到原点，再向左平移3个单位到数－3，所以将点A向左平移5个单位长度得到的点B所表示的数是－3. （2）如图所示，纽约、伦敦、巴黎、北京、汉城五城市的时差可以通过它们对应的数字计算出来，北京时间2008年8月8日20时，伦敦时间是2008年8月8日12时；巴黎时间是2008年8月8日13时；纽约时间是2008年8月8日7时；汉城时间是2008年8月8日21时. 解：（1）－3（2）B 评析：数轴是数形结合思想解题的桥梁. ? 例2. 已知︱a︱＜︱b︱，a＞0，b＜0，把a、b、－a、－b按由小到大的顺序排列. 分析：从︱a︱＜︱b︱，及a＞0，b＜0知正数a在原点右侧，负数b在原点左侧，且表示数a的点到原点的距离小于表示数b的点到原点的距离，如图所示. 另一方面，a与－a，b与－b互为相反数，由于︱a︱＝︱－a︱，︱b︱＝︱－b︱，故数轴上表示这四个数从左到右的顺序是b，－a，a，－b. 解：b＜－a＜a＜－b. ? 例3. 如图所示，阴影部分的面积是正方形面积的（?? ） A. ????????? B. ????????? C. ????????? D. 分析：阴影部分的面积不能求出，考虑把阴影部分通过切割、折叠等方法拼成一个可求面积的图形. 把正方形沿图中对角线对折，阴影部分面积等于三角形面积，等于正方形面积的一半. 解：D 评析：求图形面积时，常用割补、折叠等方法把不规则的图形拼成一个可求面积的规则图形. ? 例4. 图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）. 将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为__________cm3. （计算结果保留π） 分析：图2几何体体积是图1几何体体积的3倍，但图1中的几何体不规则，体积不可求. 如果把两个图1中的几何体拼在一起便得到一个圆柱体，其体积是π·22·（4＋6）＝40π（cm3）. 那么图2几何体体积是这个几何体体积的倍，所以图2几何体体积是40π·＝60π（cm3）. 解：60π 评析：本题通过拼接，把一个不规则的图形拼成一个圆柱体. 其中体现的思想方法就是把部分图形转化成整体图形. ? 例5. 若代数式2y2＋3y＋7的值为2，则代数式－6y－4y2＋9的值为（?? ） A. －1??? B. 19????? C. 9?????????