高中函数值域的求法集锦.docVIP

专题一：求函数值域的常用方法及值域的应用 高考要求 函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 1.重难点归纳 (1)求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域 (2)函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强 (3)运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 2.值域的概念和常见函数的值域 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域： 一次函数的值域为R. 二次函数，当时的值域为，当时的值域为.， 反比例函数的值域为. 指数函数的值域为. 对数函数的值域为R. 正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R. 3.求函数值域（最值）的常用方法 3.1.基本函数法 对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解. 3.2配方法 对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解. 例：求函数的值域： 解：设，则原函数可化为：.又因为，所以，故，，所以，的值域为. 3.3换元法 利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数，形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令. 例：求函数的值域：. 解：设则.所以原函数可化为，所以.所以原函数的值域为. 3.4不等式法 利用基本不等式，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①;②为定值；③取等号成立的条件.三个条件缺一不可. 例：求函数的值域：. 解： 当且仅当时，即时等号成立， ，所以元函数的值域为. 3.5函数的单调性法 确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题. 3.6数形结合法 如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由可联想到两点与连线的斜率. 例：求函数的值域： 解： 函数的值域为：. 3.7函数的有界性法 形如，可用表示出，再根据，解关于的不等式，可求的取值范围. 3.8导数法 设的导数为，由可求得极值点坐标，若函数定义域为，则最值必定为极值点或区间端点中函数值的最大值和最小值. 3.9判别式法 例：求函数的值域 解：恒成立，函数的定义域为R. 由 得 。 当即时，； 当即时，时，方程恒有实根. 且. 原函数的值域为. 4.典型题例示范讲解 例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？ 如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 命题意图 本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力 知识依托 主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识 错解分析 证明S(λ)在区间［］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决 技巧与方法 本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决 [来源:学科网] 解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2, 则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160, 将x=代入上式得 S=5000+44 (8+), 当8=,即λ=1)时S取得最小值 此时高 x==88 cm,　宽 λx=×88=55 cm [来源:学科网][来源:Zxxk.Com] 如果λ∈［］，可设≤λ1λ2≤, 则由S的表达式得 [来源:学,科,网Z,X,X,K] 又≥,故8－0, ∴S(λ1)－S(λ2)0,∴S(λ)在区间［］内单调递增  从而对于λ∈［］,当λ=时，S(λ)取得最小值 答 画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小 如果要求λ∈［］,当λ=时，所用纸张面积最小 例2已知函数f(x)=,x∈［1,+∞ (1)当a=时，求函数f(x)的最小值 (2)若对任意x∈［1,+∞,