降落伞选择问题数学建模.docVIP

救灾时空投物资的降落伞的选择问题数学建模 【摘 要】 本文建立了一个救灾时关于空投物资所需降落伞的选择方案使得所需总费用最少的最优化模型。第一方面，先通过建立物体在空气阻力作用下下降过程的物理模型得出下降速度以及下降距离随时间变化的规律，以及根据图表二中的数据，利用线性拟合求出空气阻力系数k=2.9575。然后求出了五种降落伞在满足降落速度不超过20m/s前提下的最大负重质量。另一方面，本文利用已知的关于降落伞的信息得出了五种降落伞的造价。最后利用优化问题求解软件lingo对所建立的模型求解，求得所需最少费用为6350.4元，一共需要降落伞十个，其中半径为2m的1个，半径为2.5m的2个，半径为3m的7个。 关键字：线性整数规划、空气阻力系数、最大负重 *************************************************** 作者：龙文高 学号：0807010208 邢素丹 学号：0807010219 李 敏 学号：0807010228 问题重述： 2008年，汶川大地震，现急需向灾区空投救灾物资共3000kg，因此选购一些降落伞。已知空投高度为500米，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒，降落伞面为半径r的半球面，用每根长L共16根绳索连接的载重m仅位于球心正下方球面处，如图： 每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用c1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用c2由绳索总长度及单价3元/米 决定；固定费用c3为150元。 降落伞在降落过程中受到的空气阻力可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比，为了确定阻力系数， 用半径r=3m，载重m=300kg的降落伞以500m高度作试验，测得各时刻t的高度x，见表2。 需要解决的问题：试确定降落伞降落的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1 中选择）在满足空投的要求下，使总的费用最低。 问题分析： 问题的目的是要确定一个降落伞的选择方案，使得在满足救灾的前提下让所需的总费用最少。这显然是一个以各种降落伞的数量为决策变量，以总费用为目标进行规划的数学问题。为了确定目标函数和约束条件，需要求出每种降落伞的造价和最大负重量。 由于不同的降落伞在空中承载一定质量的物资一定高度落下时末速度与降落伞和物资整体受到的重力和空气阻力有关，而空气阻力与降落速度和伞面积成正比，因此不同的降落伞所能承受的最大物质重量是不同的，并且降落伞的半径有关。同时由于降落伞落地速度有限制，因此每种降落伞所能承载的物质重量是有限，因此求出每种降落伞的最大承载量是问题的关键。 另外，降落伞的造价费用由伞面费用、绳索费用和固定费用构成，每种降落伞面用费用在图表1中已经给出，而固定费用均为200元，因此只要计算出绳索费用就可以得出每种降落伞的造价。 模型假设： 1、救灾物资可以任意分割。 2、空投高度确定，均为500米，空投初速度为0。 3、空投开始时降落伞已经打开。 4、降落伞下降过程中忽略风力的影响，只受空气阻力和重力，且伞和物资整体受力均匀。 5、空投地点固定，空投处重力加速度为g=9.8m/s2。 6、降落末速度不超过20m/s2 7、降落伞伞面和绳索的质量忽略不计 8、降落伞在降落过程中受到的空气阻力可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比，比例系数是一个常数。 9、绳索连接的载重m的物体的一端位于球心正下方球面处，而另一端均匀分布在伞的边缘。 10、物体挂于降落伞上时不会脱落，不考虑因物资脱落而造成的损失。 11、图表一、二中所列出的数据是比较准确的，且其物理背景和以上假设一致。 符号说明： P(r)：半径为r的降落伞的造价 C1(r)：伞面费用 C2(r)：绳索费用 C3：固定费用 M(r)：每一个半径为r的降落伞的最大承载量 k：空气阻力系数 t：从空投开始计时的时间 H(t)：t时刻降落伞下降的距离 m：降落伞负重质量 S(r)：半径为r的降落伞伞面面积 n(r)：所需半径为r的降落伞的数量 模型建立： 根据题目要求，通过问题的分析，我们知道此次建模的目的是要对各种降落伞的需求数量n(r)进行规划，使得总费用P最少，该问题是一个线性整数规划问题,因此需要建立数学规划模型，其中： 决策变量：n（r）即半径为r的降落伞的数量， 决策目标：目标是要使得最终费用最少，即 Min P= 约束条件： 为非负整数 显然，为了求得该模型的解，必须得出五种降落伞的造价和最大负重。 （i）计算每种降落伞的造价P(r) 由题意容易得出： 其中在图表一中已经提供，元 而 （ii）计算每种降落伞在满足救灾需求前提下的最大负重M(r) 根据受力分析：降落伞和物资的整体只受重力和空气阻力f的作用，当空投物资质量为m时有：