相似矩阵矩阵的对角化.PDFVIP

相似矩阵 矩阵的对角化 北京化工大学 江新华 教学内容：相似矩阵、矩阵对角化、 教学目的：（1）概念引入理解相似矩阵概念； （2 ）掌握相似矩阵的基本性质和矩阵可对角化的条件； (3) 了解矩阵对角化的 MAPLE 和 MATLAB 命令。 教学难点：矩阵对角化的条件和步骤 教学时间：50 分钟 教学对象：例一可用于理工科各专业，例二可用于化工、机械各专业 一、引例 例 1 由方程2x 2 −4xy +5y 2 1 确定的二次曲线是什么曲线？ 利用 MAPLE 的绘图软件包的隐函数作图命令，在MAPLE 下运行下列命令 with(plots): implicitplot(2*x^2-4*x*y+5*y^2=1,x=-2..2,y=-2..2,numpoints=5000); 得到下列图形。可以看到，该曲线应该是椭圆。那么，它的长、短半轴各是多少？ 图２ 如果选取合适的坐标系旋转角度θ，则此椭圆可以化为标准形式 λ x 2 2 ⎛ ⎞⎛ ⎞ λx +μy 1 或 (x y )⎜ ⎟⎜ ⎟ 1 （１） μ y ⎝ ⎠⎝ ⎠ 为方便表述，将原椭圆方程写成矩阵表达形式： T x 2 −2 x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 1 （２） y −2 5 y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 由于在新坐标系下点的坐标(x , y ) 和旧坐标的关系为 x cosθ −sinθ x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ （３） y sinθ cosθ y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 206 将（３）代入（２），得 T T x cosθ −sinθ 2 −2 cosθ −sinθ x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ 1 （４） y sinθ cosθ −2 5 sinθ cosθ y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 记 ⎛ 2 −2 ⎞ ⎛cosθ −sin θ⎞ ⎛λ ⎞ A ⎜ ⎟, P ⎜ ⎟, D