第七章最优控制最大值原理.pptVIP

（2）积分上限函数的求导 （2.8) 由积分中值定理得 证： （3）对积分下限函数求导 证： 根据对积分上限函数求导的公式，得： （2.9) (4)如果定积分具有如下形式： 根据（2.6）式和（2.8）式，得： （2.11) 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 ; 预备知识二：一阶线性微分方程 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 2. 解非齐次方程 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 例. 解方程 解: 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解. 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 令 第四章 最优控制 第一节 最大值原理 第二节 其他终结条件 第三节 变分法与最优控制的比较 第四节 政治商业周期 导入例子 最大化 满足 和 自由 表示资源的储量 表示时间 时这种资源的抽取速度 表示使用资源带来的总效用 状态变量是用来描述某一状态范围内所给定的变量，在状态不变的情况下，状态变量的值也就是一定的。 控制变量是引起状态变量变动的变量。 变分法是寻求状态变量 的最优时间路径，最优控制理论把决定控制变量 的最优时间路径作为首要任务。 自由端点问题（垂直终结线）： 最大化 满足 和 ，对于所有的 自由 （A、T给定） 汉密尔顿函数： 解决最优控制问题的工具是汉密尔顿函数。 包含被积函数 加上共积变量 与函数 的乘积。 第一节 最大值原理 （一）最大值原理 对于所有的 的运动方程 的运动方程 横截条件 关于 最大化 的这种要求称为最大值原理。 曲线1有内部解； 曲线2和3有边界解。 最大化 满足 和 （给定） 根据运动方程： 所以 步骤1 推导新的目标泛函 证明思路：由原泛涵 推导出新泛涵 ，根据新泛涵 推导得到最大值原理的三个条件和一般横截条件。 （二）最大值原理的证明 把汉密尔顿函数定义为： 则新泛函为： 根据分部积分公式 新泛函为： 上页推导得到： 根据汉密尔顿函数 ，得： 状态变量的运动方程 最大化 满足 和 （给定） 推导得到最大值原理的条件之一 步骤2 推导状态变量 的运动方程 以上两个方程右边相同，因此左边相等： 以上推导得到： 的邻近路径： 的邻近路径： 更进一步，如果 与 都是可变的，则有： 新目标泛函 的新形式： 步骤3 推导新目标泛函 的另一种形式 上页推导得到 的第一项对 求导，得： 的后两项对 求导，得： 令 ，即（7.28）与（7.29）的和设为零得： (7.28) (7.29) (7.30) 步骤4 令 推导另外两个条件和横截条件 (7.30) 由于 是任意的，因此： 推导得到最大值原理的条件之二 由于 是任意的，因此： 推导得到最大值原理的条件之三 由于积分项（即第一项）为零，因此： 推导得到最大值原理的一般横截条件 上页推导得到： 第二节 其他终结条件 固定终结点的横截条件： （ 和 给定） 水平终结线的横截条件： 一般横截条件： （7.30） 终结曲线的横截条件： 终结曲线 一般横截条件： （7.30） 一般横截条件： （7.30） 截断垂直终结线： 对于 情况一 情况二 对于 令 ， 根据库恩塔克条件 对于 综合情况一和二： 情况一 情况二 一般横截条件： 对于 （7.30） 截断水平终结线： 情况一 情况二 综合情况一和二： 对于 情况一 情况二 例1 最大化 满足 和 步骤1 汉密尔顿函数： 的解是最大化 （7.39) 步骤2 可以得到通解： 汉密尔顿函数： （ 任意） （7.40) 例1 最大化 满足 和 步骤3 解方程： 该方程属于 这种类型。 这里的 和 根据标准公式,它的解如下: （7.41) 把(7.39)和(7.40)代入状态变量的运动方程，得： （7.39) （7.40) 以上推导得到： 步骤4 根据边界条件 和 代入 ，得： 把这些代入(7.41)、(7.40)和(7.39)得： 以上推导得到： （7.39) （7.40) （7.41) 第三节 变分法与最优控制的比较 一、最简单的问题 最大化 满足 和 运动方程具有如下简单形式 ，并且 的选择是无约束的。 一个特例 最大化 满足 把运动方程 代入被积函数，我们可以消去 ，以上最优控制问题可以重新写成变分法问