无穷大量 无穷小量.pptVIP

第二章 经济变化趋势的数学描述 §2.4 无穷小量与无穷大量 一、无穷小量 1、概念 定义 极限为零的变量称为无穷小量。 注 ①由定义知无穷小量为一个变量而不是数； ②定义中的极限包括7种形式的极限，因此说一个变量是 无穷小量必须指明自变量的变化趋势； ③0看作常量函数时lim0=0，因此(不论在自变量的哪一种 变化趋势下)0是无穷小量，但无穷小量不一定是0。 定理 2、性质 性质1 有限个无穷小量之和、差、积仍是无穷小量； 性质2 无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量； 性质3 无穷小量除以极限不为零的变量仍是无穷小量。 例 解 无穷小量乘以有界变量 3、比较 由无穷小量的性质，两个无穷小量的和、差、积仍是无 穷小量，但对两个无穷小量的商结果就复杂得多，例如当 x→1时f(x)=x-1、g(x)=x2-1、h(x)=(x-1)2都是无穷小量，但 可以看出，两个无穷小 量的商可能极限不存在， 极限存在时可能等于零 也可能不为零。 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 为方便，引入以下定义。 定义 ①A=0则称α是比β高阶的无穷小量，记为α=o(β); ②A≠0则称α与β是同阶的无穷小量，记为α=O(β)；特别 地当A=1时称α与β等价，记作α~β。 例如x→1时，(x-1)2=o(x-1)，x2-1=O(x-1) 。 练习 x→0时， 高 同 高 注 ①只有都是无穷小量时才能分阶； ②比较时一定要说明在哪一种变化趋势下； ③并非任意两个无穷小量都可以分阶； ④阶的高低反映了无穷小量趋于零的速度。 高阶的较快，低阶的较慢；同阶的相当；等价的同步。 在无穷小量的比较中，无穷小量的等价最为重要，首 先，无穷小量的等价满足反身性、对称性、传递性。而无穷 小量的等价的应用主要反映在下面的定理： 定理 此定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子分母都 可用等价无穷小来替换。适当替换可以简化极限的计算。 注 ①应用时注意自变量的变化趋势； 　　②只有在乘积时才能代换，加减时不可以； 　　③加减时有时可分成两个极限计算，但分开后每个极限 都要得出具体数值，不能再合并。 例 解 练习 答案 备忘 x→0时常用的等价无穷小量有 这里把3x当成一个整体，当x→-∞时它是无穷小量 例 在代换时我们关注的不是自变量是否趋于零，而是保证 代换的那一部分(有时是自变量的表达式)必须是无穷小量。 解 练习 答案 计算极限 答 案 二、无穷大量 极限不存在包括两种情况：跳跃型(振荡型)和无限增大 型。第二种极限称为无穷大，也就是说，若在自变量的某一 变化趋势下，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为无穷大 量。其精确定义如下： 则称x→x0时f(x)为无穷大量，记作 定义 对x的其他变化趋势可类似定义。