建省各地2014届高三必威体育精装版模拟数学理试题分类汇编10：立体几何.docVIP

福建省各地2014届高三必威体育精装版模拟数学理试题分类汇编 一、选择题 1、（福建省南安一中2014届高三上学期期中考试）一个几何体的视图如图示，则A．7 B. C. D. 答案：D 二、解答题 1、（福建省安溪八中2014届高三12月月考）如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.(Ⅰ)求与底面所成角的大小；(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求二面角的余弦值. 解：(I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC． 又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．连结OA，则OA是PA在底面上的射影． ∴∠PAO就是PA与底面所成角．∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=．∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°． (II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．建立空间直角坐标系如图，则, ． 由M为PB中点， ∴．∴ ．∴， ． ∴PA⊥DM，PA⊥DC． ∴PA⊥平面DMC． (III)．令平面BMC的法向量， 则，从而x+z=0； ……①, ，从而． ……② 由①、②，取x=?1，则． ∴可取． 由(II)知平面CDM的法向量可取， ∴．∴所求二面角的余弦值为－．…13分 2、（福建省南安一中2014届高三上学期第三次月考） 已知直三棱柱中，△为等腰直角三角形，∠ ＝90°，且＝，、、分别为、、的中点． （I）求证：平面； （II）求证：平面； （III）求二面角的余弦值． 解：O—xyz，令AB＝AA1＝4， 则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0）， B1（4，0，4），D（2，0，2）， …………（2分） （I）（，4，0），面ABC的法向量为（0，0，4）， ∵，平面ABC， ∴DE∥平面ABC． …………（4分） （II） …………（6分） ∴ ∵ …………（8分） （III） 平面AEF的法向量为，设平面 B1AE的法向量为 即 …………（10分） 令x＝2，则∴ ∴二面角B1—AE—F的余弦值为 …………（13分） 3、（福建省南安一中2014届高三上学期期中考试） 如图，长方体ABCD－ABCD中，AA=，AB=1，AD=，E为BC中点，且∠AEA恰为二面角A－ED－A的平面角. （1）求证：平面ADE⊥平面AAE； （2）求异面直线AE、CD所成的角； （3）设△ADE的重心为G，问是否存在实数， 使得=，且MG⊥平面AED同时成立？若存在，求出的值； 若不存在，说明理由. 解：以A为原点建立空间直角坐标系，则 （1）为二面角A－ED－A的平面角. ， 4分 （2） 为二面角A－ED－A的平面角.，即 ，取AD中点F，则 ， 所以，即异面直线AE、CD所成的角为 8分 （3）依题意 假设存在满足题设条件，则且 即 13分 4、（福建省厦门一中2014届高三上学期期中考试） 如图， 在三棱锥中，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，，当三棱锥的体积最大时，在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由。（参考公式：棱锥的体积公式,其中表示底面积，表示棱锥的高） 解：（Ⅰ）∵，∴，． ∵，∴平面------------------------1分 ∵平面，∴．------------------------2分 ∵，∴．∵，∴平面．------------3分 ∵平面，∴平面平面．------------4分 （Ⅱ）由已知及（Ⅰ）所证可知，平面，， ∴是三棱锥的高．∵，，，设，则，． ，∴------6分 ∴当，有最大值，此时．------------7分 以为原点，建立如图的空间直角坐标系，则， 设是平面的法向量， 则， 取，得，------------9分 设线段上的点的坐标为，则， ∵，解得， ------------11分 ∴在线段上不存在点，使得直线与平面所成角为。------------12分 立体几何 P A B C P A B C