高考数学基础解答题-空间向量与立体几何.docVIP

空间向量与立体几何 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点B， 且． （1）求棱与BC所成的角的大小； (2)在线段上确定一点P，使， 并求出二面角的平面角的余弦值． ks5u 解法一：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则， ，． ， 故与棱BC所成的角是． ………………6分 （2）设， 则． 于是（舍去）， 则P为棱的中点，其坐标为． ……………8分 设平面的法向量为， 则, 即 令 故 ……………11分 而平面的法向量=(1,0,0)，则 故二面角的平面角的余弦值是． ………………13分 解法二： (1) 由题意可知，所以是与棱BC所成的角 (或其补角)， 连接和， ∵ ，∴ ， 又，且， ∴ ， ∴ . 在平行四边形中，由余弦定理可得 ， 在Rt△中，由勾股定理可得. 在△中，由余弦定理可得， ∴ ， ∴ 故棱与棱BC所成的角是． (2) 作于Q，连接QA，PA， 作于R，则R应在AB的延长线上，连接PR， 由题意可知，， ∴ ，∴ 是二面角的平面角. 设，则，， 在△中， ， 在Rt△中，由可得， 解得或(舍去)，即P是中点. 在Rt△中，，， ∴ ， ∴ ， 即二面角的平面角的余弦值是． 2．如图5，在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,. (1) 求证：平面； (2) 若四棱锥的体积为, 求二面角的正切值. （1）证明: 连接,设与相交于点,连接, ∵ 四边形是平行四边形, ∴点为的中点. ∵为的中点， ∴为△的中位线, ∴ . …… 2分 ∵平面,平面, ∴平面. …… 4分 (2)解: 依题意知，， ∵平面,平面, ∴ 平面平面，且平面平面. 作，垂足为，则平面， ……6分 设， 在Rt△中，，， ∴四棱锥的体积 . …… 8分 依题意得，，即. …… 9分 (以下求二面角的正切值提供两种解法) 解法1:∵,平面，平面， ∴平面. 取的中点，连接，则,且. ∴平面. 作，垂足为，连接， 由于，且， ∴平面. ∵平面, ∴. ∴为二面角的平面角. …… 12分 由Rt△～Rt△,得, 得, 在Rt△中, . ∴二面角的正切值为. …… 14分 解法2: ∵,平面，平面， ∴平面. 以点为坐标原点,分别以,,所在直线为轴, 轴和轴,建立空间直角坐标系. 则,,,. ∴, 设平面的法向量为, 由及,得 令,得. 故平面的一个法向量为, …… 11分 又平面的一个法向量为, ∴,. …… 12分 ∴,. …… 13分 ∴,. ∴二面角的正切值为. …… 14分 3．如图6，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，，圆的直径为9． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的正切值． （1）证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上， ∴． 在正方形中，， ∵，∴平面． ∵平面， ∴平面平面． （2）解法1：∵平面，平面， ∴． ∴为圆的直径，即． 设正方形的边长为， 在△中，， 在△中，， 由，解得，． ∴． 过点作于点，作交于点，连结， 由于平面，平面， ∴． ∵， ∴平面． ∵平面， ∴． ∵，， ∴平面． ∵平面， ∴． ∴是二面角的平面角． 在△中，，，， ∵， ∴． 在△中，， ∴． 故二面角的平面角的正切值为． 解法2：∵平面，平面， ∴． ∴为圆的直径，即． 设正方形的边长为， 在△中，， 在△中，， 由，解得，． ∴． 以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，[来源:学§科§ ． 设平面的法向量为， 则即 取，则是平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则即 取，则是平面的一