中考数学压轴题中数学思想及解题思路探究.docVIP

中考数学压轴题中数学思想及解题思路探究中考数学压轴题在中考试卷中占有较大的比重，其涵盖的知识内容较多、难度较大、技巧较灵活、思路较复杂、综合性十分强，因此成为众多师生关注的焦点问题。纵观近年来江苏省扬州市的中考数学压轴题，我们可以发现具有这样一些特点：第一，注重对数学基础知识与基本技能的考查；第二，注重考查学生的数学思想及方法，如几何变换思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与归结思想、方程函数思想等等；第三，强调用数学知识解决实际问题；第四，关注学生参与数学探究的活动过程。只有我们认真把握中考数学压轴题的这几个特征，并在日常教学及复习中，贯穿数学思想及数学方法的应用，便能帮助学生顺利应对中考数学中的压轴题，培养学生的数学创新思维、发散思维，以及综合运用的能力。以下，笔者将根据近年来江苏省扬州市的中考数学压轴题，探讨其中蕴含的数学思想及方法，分析其解题思路： 一、巧用变换思想，妙解几何难题 变换是数学中最为常见和普遍的一种思想方法，几何中有图形变换，如平移、旋转、相似、反射、对称等，代数中也有数与方程式之间的恒等变换。变换思想在数学运用中发挥着意想不到的效果，它往往可以将静止的问题变得灵活多动，将不可能的数量关系变成可能，让“古怪刁钻”之题迎刃而解。 例如，在2011年江苏扬州中考数学的压轴题（第28题）中就充分考查了学生对这一数学思想方法的掌握和理解。题目是：在△ABC中（如图1），∠BAC=90°，AB0）。 其中本题的问题3是探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系。要想解答这道题，就必须要熟悉初中几何数学中的变换思想，并运用几何变换的数学方法进行解答和论证。从图1我们可以知道，BP、PQ、CQ三条直线并未在一个三角形内，无法直接得出BP2、PQ2、CQ2三者间的关系；因此，第一步就是要将这三条直线放在一个三角形之中。那么，我们就可以运用旋转的思想，将△BPM旋转，让P点与D点重合，将PM平移到DM，BM与CM对折，形成新的△CDM，且BP=CD。这时，我们再连接QD，并可以很容易求证到QD=PQ。在直角三角形△CDQ中，CD2+CQ2=QD2，由此便可以得出结论：BP2+CQ2 =PQ2。从此题中我们还总结出 “大角夹半角模型”，即小角是大角角度的一半，如题中的直角∠PMQ与平角∠BMC的关系；只要遇到此类问题，若大角两边线段相等，就可以考虑运用“旋转”变换的思想将图形中一些分散的量集中到一起。 数学几何中变换思想之所以重要，是因为可以运用到我们实际生活中的许多方面，例如照片的放大缩小、物体的投影、机械零件的图纸等等。在中考压轴题中，考察学生的这一数学思想，也是在考查学生的空间想象、推断、演绎及应用能力，具有深远的意义。 二、运用数形结合思想，突破压轴难关 数形结合也是数学中一种十分重要的思想方法。它是指把数学中的数字符号与图片形状相结合，将图形转化为数字、用数字来诠释图形，形成一种抽象与形象相互转化的思维方法。换言之，数形结合即将代数与几何相结合的一种数学思想方法。有时候，单纯地运用几何知识解决几何问题，运用代数解决代数问题比较繁杂；而换个角度和思维，运用几何方法解决代数问题，或者运用代数方法解决几何问题，则可以化繁为简、化难为易。 例如，在2010年江苏扬州中考数学的压轴题（第28题）中就体现了数形结合的思想。题目是：在△ABC中（如图2），角∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y。 其中本题的问题2是：若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式。（写出自变量x的取值范围）②当x取何值时y有最大值？并求出最大值。在本问题中，就已经明显体现了要用几何图形的方法来求解代数函数的问题，那么在解题过程中就必须充分采取数形结合法予以突破。首先，根据题目和三角形的面积公式，我们可以得出y与x的函数关系式：即为二次函数y=1/2×（x）×（EF）；然后，再求出线段EF的长度。第三，我们再根据线段AD与线段AE（x）之间的长短关系，如当0x　　根据近几年来江苏省扬州市中考数学压轴题的命题思路和趋势，可以总结出越来越重视对学生数学思想和方法掌握程度的考查，越来越重视对学生迁移发散思维、综合运用能力的考验。在平常的数学教学过程中，数学教师不仅仅要教会学生基本的数学知识、解题技能、解题思路等，更要渗透数学思想和数学方法的教学；要让学生吃透各种数学思想及方法在数学题目中的呈现，要能够灵活运用各种数学思想及方法去思考问题、推导问题、解决问题。此外，还要让学生养成良好的动手操作习惯，将数学中的推算演绎方法，应用到实际生活之中，并通过实践学会独立自主思考，从变化过程寻找规律