成都九中竞赛数列讲义.docVIP

等差数列与等比数列 知识要点1、等差数列的两个公式： 2、等差数列主要性质： （1）设是等差数列，则是等差数列； （2）设与是等差数列，则是等差数列； （3）若，则； （4）对于项数为的等差数列，记、为前项中的偶数项和与奇数项和，则，； （5）对于项数为的等差数列，则，； （6）其他衍生等差数列： ①为等差数列，公差为； ②为等差数列，公差为； ③为等差数列，公差为． 3、等比数列主要性质： （1）设是等比数列，则、是等比数列； （2）设与是等差数列，则是等比数列； （3）若，则； （4）设是正项等比数列，则是等差数列； （5）其他衍生等差数列： ①为等比数列，公比为； ②为等差数列，公比为； 数列的通项：公式法迭代法：类型一：已知，类型二：已知，待定系数法：类型三：已知，阶差法：当递推式中既有又有时往往可用阶差法数学归纳法 数列的前项和（1）公式法： ；（2）裂项相消法： ， ；（3）错位相减法：成等差数列，成等比数列）；（4）倒序相加法（5）归纳猜想法例 在等差数列中，若，，求． 例 等差数列中，，，该数列前多少项的和最小？ 例 已知数列与满足，求证：成等差数列的充要条件是成等差数列． 例4 数列的前项和为，且，，求（1）的值及数列的通项公式；（2）的值． 例 各项都是正数的数列中，若前项的和满足，求此数列的通项公式． 例 设等比数列的公比为，前项和为，是否存在常数，使数列也成等比数列？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由． 例 设是等比数列，，已知，，求的前项和． 例 设数列的前项和与的关系为，其中是与无关的常数，且．（1）求与的关系式；（2）写出用与表示的表达式． 例 设数列的前项和为，，，，且，，其中、为常数． （1）求与的值；（2）证明数列为等差数列； 例 无穷数列中，对每个奇数，、、成等比数列，而对每个偶数，、、成等差数列，已知，．（1）求数列的通项公式，实数、满足怎样的条件时，存在这样的无穷数列？（2）求的调和平均值． 例 数列中，，且成立，求． 例 已知数列满足条件，且，设，求 例 已知数列的各项均为正数，且前项和满足，且、、成等比数列，求数列的通项公式． 例 已知数列中，，，求的通项公式． 定义如下，，。证明：。 递归数列 （p、q是常数），其特征方程为，其根为特征根。 （1）若特征方程有二异根、，则其通项为，其中A、B是待定系数； （2）若特征方程有二重根，则其通项为，其中A、B是待定系数； 再利用初始值可求得A、B，进而求得。 2、代换法：主要包括三角代换、分式代换与代换相消等。类型五：已知，，，求通项。 用代换可得，两式相减得，令，则，由特征方程可求出，再由迭加法得。 例：，求． 例：，求． 例：，求． 3、不动点法：若，则称是的不动点，利用不动点可将非线性递推式化为等差、等比数列或某些易于求解的递推关系，达到求解的目的。 类型六：已知，且，求通项。 设，（1）若有两相异不动点、，则，其中，即是以k为公比的等比数列，进而求得；（2）若有惟一不动点，则，其中，即是以k为公差的等差数列，进而求得； 类型七：已知，求通项。 设，（1）若有两相异不动点、，则，令，则，由此解得；（2）若有惟一不动点，则易得，，由，令，化简可得，所以是以为公比的等比数列，由此解得。 类型八：若，由得，当时，有两个不动点，，则，令， 因此。其中为斐波那契数列。 【典型例题】 例1 已知数列，，。（1）求的通项公式；（2）若数列中，，，求证：。 例2 在数列中，，（其中）。（1）求的通项公式；（2）求的前n项和；（3）证明：存在，使得恒成立。 例3 已知，且，求通项。 例4 设数列、满足，且，求通项，。 例5 已知数列满足，，数列，且，，试比较与的大小。 例7 已知，，求证：都是整数。 例8 已知，，求证：该数列中一切数都是整数。 例9 已知数列，且，试求通项。 例10 设数列、满足，且，求证是完全平方数。 例11 数列满足且，记，求数列的通项公式。 例12 已知无穷数列满足，，。（1）对于怎样的实数与，总存在正整数，使当时恒为常数；（2）求通项。 不等式的性质与解法 【知识要点】 1、实数的基本性质： 2、不等式的反身性与传递性： 3、不等式的运算性质：平移性；叠加性；伸缩性；叠乘性；乘方性；开方性。 4、不等式性质的应用：比较大小；证明不等式；求有关参变量的范围。 5、有理不等式的解法：（1）一元一次不等式；（2）一元二次不等式；（3）高次不等式． 、无理不等式的解法：通常采用移项、乘方等转化为有理不等式（组），注意等价性． 、指对数不等式的解法：通过指对函数的性质及定义域进行等价变换 、绝对值不