南京财经大学大二第二学期概率论相关知识第二章：随机变量.ppt

定义 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为FX(x1,x2,...xn)；m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)的分布函数为FY(y1,y2,…ym), X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym组成的n+m维随机变量（X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym)的分布函数为 F（x1,x2,...xn, y1,y2,…ym). 如果 F（x1,x2,...xn, y1,y2,…ym)= FX(x1,x2,...xn) FY(y1,y2,…ym) 则称n维随机变量(X1,X2,...Xn)与m维随机变量 (Y1，Y2,…Ym)独立。 定理 设(X1,,X2, …, Xn )与(Y1, Y2,…， Ym )相互独立，则Xi (i=1, 2, …, n))与Yi (i=1, 2, …, m)相互独立；又若h, g是连续函数，则h(X1,,X2, …, Xn)与g(Y1, Y2,…， Ym )相互独立. 为Y＝ yj的条件下，X的条件分布律; 若对固定的j, p.j0, 则称 同理，对固定的i, pi. 0, 称 为X＝ xi的条件下，Y的条件分布律; EX.设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数X与下一代只数Y的联合分布律. 2.8 多维随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布律 设二维离散型随机变量（X，Y）， (X, Y)～P(X＝xi, Y＝yj)＝pij ，i, j＝1, 2, … 则 Z＝g(X, Y)～P{Z＝zk}＝ ＝pk , k＝1, 2, … (X,Y) (x1,y1) (x1,y2) … (xi,yj) … pij p12 p13 p14 Z=g(X,Y) g(x1,y1) g(x1,y2) g(xi,yj) 或 EX 设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为 X 0 1 P q p (1) 求W＝X＋Y的分布律; (2) 求V＝max(X, Y)的分布律； (3) 求U＝min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。 (X,Y) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) pij W＝X＋Y V＝max(X, Y) U＝min(X, Y) 0 1 1 2 0 1 1 1 0 0 0 1 V W 0 1 0 1 2 0 0 0 二、多个随机变量函数的密度函数 1、一般的方法：分布函数法 若(X1, X2, …, Xn)~f (x1, x2, …, xn), (x1, x2, …, xn)?Rn, Y=g(X1, X2, …, Xn), 则可先求Y的分布函数: 然后再求出Y的密度函数: 2、几个常用函数的密度函数 (1)和的分布 已知(X, Y)～f(x, y), (x, y)?R2, 求Z＝X＋Y的密度。 z x+y=z x+y? z 若X与Y相互独立，则Z＝X＋Y的密度函数 例1. 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。 一般地，设随机变量X1, X2，..., Xn独立且Xi服从正态分布N(?i ,?i2),i=1,...,n, 则 例2.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05. 解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则 由题意,令 查表得 (2)商的分布 已知(X, Y)～f(x, y), (x, y)?R2, 求Z＝ 的密度。 y G1