第二章3-单自由度系统强迫振动-必威体育精装版.ppt

单自由度系统的强迫振动 强迫振动的形式 本章讨论单自由度线性系统在周期激扰（激励或扰动）作用下的强迫振动，通常称为振动系统对周期激扰的响应。周期激扰可以是作用于振动系统的周期扰力，也可以是振动系统支座的周期运动。 正弦激励法的作用 对于实际的振动系统的参数测量，实际上通常加一系列的正弦信号，通过测量系统的响应，来获得振动系统的参数，即所谓正弦激励法，例如正弦扫频等。 例子 如右图所示，物体沿垂直方向振动，取物体无扰力下的静平衡位置为坐标原点，铅直向下为x轴正向，建立如图所示的坐标系。 受力情况如图，其扰动力为： 变量说明 扰力： 称为扰力的力幅 ，为常值 扰力的频率 ，简称扰频，为常值 系统运动微分方程 由牛顿第二定律： 整理得 这就是无阻尼振动系统在简谐扰力作用下的运动微分方程。 定义辅助变量 令： 表示在静力条件下，系统受到一个大小为 的力作用时的位移。 方程和通解的标准形式 这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据微分方程理论，它的解由两部分组成： 齐次解 代表齐次微分方程 的解，简称齐次解，由前面的单自由度无阻尼自由振动可得： 特解 代表方程 的一个特解， 由激扰力的形式可知方程的特解可以表示成 为： 积分常数的确定 将 代入微分方程，可得： 并令： ，称为频率比，可得： 微分方程的通解 齐次解积分常数的确定 对通解求导可得 应用初始条件 由初始条件，初始位移和初始速度分别为： 通解表达形式 将得到的 代入方程的通解表达式： 方程解可以写成： 解的讨论 从上式可以清楚地看到，前两项是由初始条件引起的自由振动，频率为系统的无阻尼自由振动的固有 频率 。 表示系统在简谐激励下的强迫振动，与 激扰力的频率相同，振幅和初始条件无关。 表示激扰力引起的自由振动。 对扰力引起自由振动的讨论 令初始条件： ，微分方程的解简化为： 可见，激扰力不但引起强迫振动，同时还要引起自 由振动，二者都是简谐振动，但频率不相等的两个 简谐振动之和已经不再是简谐振动。 频率比对振幅的影响 对于周期扰动作用下的运动，我们关心的主 要是强迫振动， 为激扰力引起的强迫振动， 在 时 ，强迫振动的振幅随着的增大无限增大，直到 时，即激扰力的频率和系统的固有频率相等的时候，理论上的振幅趋于无穷大，这种现象称为共振。 频率比对振幅的影响 在 时，我们将 写成 ，从而保证振幅为正值。 从中可以看出，质量 的位移与扰力正好反向，振幅随着 的增大而无限减小。 放大率 在静力作用下，系统的静挠度为 ，可见： 体现了扰力的动力作用，这个量的 绝对值记为放大率： 放大率-频率比曲线 放大率和频率比之间的关系，即为 曲线 的意义 曲线只表示振动系统稳态运动的情 形，亦即激扰固定在某一频率时，系统振幅 达到定值后的情形。 共振的讨论 在共振时，系统的振幅将达到无穷大，事实上，这是不可能的： 首先，系统存在阻尼，在下节大家将会看到，微小的阻尼就会限制振幅的无限增大。 另一方面，在振幅无限增大的过程中，线性弹簧的假设也不再成立。 共振时微分方程的特解 在 的时候，方程的特解也不再为 而应该表示为如下形式：， 特解的导数 积分常数的确定 代入微分方程： ， 从而： 共振特解的讨论 方程的特解可以写成： 可见，共振的时候，强迫振动的振幅随着时间的增大而按比例的增大。见图2-17 对于许多机器，在正常运转时，其扰频都远远超过系统的固有频率，所以在启动和停